发布时间 : 星期二 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数更新完毕开始阅读
高等数学教案
§7 空间解析几乎与向量代数
x a cos t y a sin t z vt
也可以用其他变量作参数
例如令
t 则螺旋线的参数方程可写为 x a cos y a sin z b
其中 b
v
而参数为
* 曲面的参数方程
曲面的参数方程通常是含两个参数的方程
x x(s, t) y y(s, t) z z(s, t)
形如
例如空间曲线
x y z
(t) (t) (t)
(
t )
绕 z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为
x y z
22
[ (t)] [ (t)] cos 22[ (t)] [ (t)] sin
( t
0
2 )
?? (4)
(t)
这是因为 在平面 z 的参数方程
固定一个 t 得 上一点 M1( (t) (t)上 其半径为点 M1 到 z 轴的距离 再令 t 在 [
] 内变动
( t)
(t)) 点 M1 绕 z 轴旋转
得空间的一个圆 该圆
[ (t)] 2 [ (t)]2 因此 固定 t 的方程 (4)就是该圆
方程 (4) 便是旋转曲面的方程
例如直线
x 1 y t z 2t
绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程为
x
21 t cos
2
y 1 t sin z 2t
( 上式消 t 和
得曲面的直角坐标方程为
2
x2
y2 1 z2 )
2
2
2
4
又如球面 x y z a 可看成 zOx 面上的半圆周
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§7 空间解析几乎与向量代数
绕 z 轴旋转所得 故球面方程为
x a sin cos
y a sin sin z a cos
(0
x a sin y 0
z a cos
(0 )
0
2 )
三、空间曲线在坐标面上的投影 以曲线 C 为准线、母线平行于
xOy 面的交线叫做空间曲线 它坐标面上的投影 )
z 轴的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面 投影柱面与
C 在 xOy 面上的投影曲线
或简称投影 (类似地可以定义曲线 C 在其
设空间曲线 C 的一般方程为
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
设方程组消去变量
z 后所得的方程
H(x y) 0
这就是曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面
这是因为
程 H(x y) 0
一方面方程 H(x
是由方程组消去变量 z 后所得的方程 H (x y) 0 表示的柱面上
y) 0 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 另一方面方程 H (x y) 0
因此当 x、 y、 z 满足方程组时 前两个数 x、 y 必定满足方
这就说明曲线 C 上的所有点都在方程 H(x y) 0 所表示的曲面上 即曲线 C 在方程
所以方程 H( x y) 0 表示的柱面就是曲线
C 关于 xOy 面的投影柱面
曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为
H (x, y) 0 z 0
讨论 曲线 C 关于 yO z 面和 zOx 面的投影柱面的方程是什么 曲线 C 在 yO z 面和 zOx 面
上的投影曲线的方程是什么
例 4 已知两球面的方程为
2
2
2
x
和
y z 1 (5)
x2 (y 1)2 (z 1)2 1 (6)
求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影方程
2
解 先将方程 x
(y 1) (z 1)
2 2
1 化为
x2 y2 z2 2y 2z 1
然后与方程 x2 y2 z2 1 相减得
y z 1
22
将 z 1 y 代入 x y
z2 1 得
x2 2y2 2y 0
两球面的交线 C 在 xOy 面上的投影方程为
这就是交线 C 关于 xOy 面的投影柱面方程
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§7 空间解析几乎与向量代数
x2 2 y2 2y 0 z 0
例 5 求由上半球面 z
4 x2
4 x2 y2 和锥面 z
3( x2 y2 ) 所围成立体在 xOy 面上的投影
2
2
解 由方程 z
y2 和 z 3(x2 y2) 消去 z 得到 x y 1 这是一个母线平行于
C 关于 xOy 面的投影柱面
z 轴的圆
柱面
容易看出 这恰好是半球面与锥面的交线 因此交线 C 在 xOy 面
上的投影曲线为
22
x y
1
这是 xOy 面上的一个圆 于是所求立体在 xOy 面上的投影 就是该圆在
x2 y2 1
xOy 面上所围的部分 :
§7 5 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 唯一确定平面的条件
当平面
这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平
面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直
上一点 M0 (x0 y0 z0)和它的一个法线向量 n (A B C)为已知时
平面 的位置就完全确定了
平面方程的建立 设 M (x y z)是平面 上的任一点 那么向量 M 0M 必与平面 的法线向量 n 垂直 即它们的数量积等于零
n M 0M 0
由于
n (A B C)
M 0 M (x x0, y y0 , z z0)
所以
A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0
上任一点 M 的坐标 x y z 所满足的方程 如果 M (x y z)不在平面
上 那么向量 M 0 M 与法线向量
n 不垂直
从
这就是平面
反过来
而
n M 0 M 0
即不在平面 上的点 M 的坐标 x y z 不满足此方程
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