发布时间 : 星期二 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数更新完毕开始阅读
高等数学教案
§7 空间解析几乎与向量代数
x2 y2 R2 表示的曲面上
2
2
2
所以这个曲面可以看成是由平行于
2 2
z 轴的直线
2
l 沿 xOy 面上的圆
x y R 移动而形成的 的直线 l 叫做它的母线
2
2 y
这曲面叫做圆柱面
2 R
xOy 面上的圆 x
y R
叫做它的准线 这平行于 z 轴
例 6 解
方程 x
表示怎样的曲面？
在空间直角坐标系中
过 xOy 面上的圆 x2 y2 R2 作平行于 z 轴的直线 l 则直线 l 上的
点都满足方程 x2 y2 R2 因此直线 l 一定在 x2 y2 R2 表示的曲面上
222平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x y R 移动而形成的
2
2
2
所以这个曲面可以看成是由
这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆
x y R 叫做它的准线
这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线
柱面 平行于定直线并沿定曲线 上面我们看到
C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面
定曲线 C 叫做柱面的
准线 动直线 L 叫做柱面的母线
不含 z 的方程 x2 y2 R2 在空间直角坐标系中表示圆柱面
它的母线平行于 z
222
轴 它的准线是 xOy 面上的圆 x y R
一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y) 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于
其准线是 xOy 面上的曲线 C F(x y) 0 例如 方程 y
叫做抛物柱面
z 轴的柱面
2
2x 表示母线平行于
z 轴的柱面
2
它的准线是 xOy 面上的抛物线 y 2x 该柱面
又如 方程 x y 0 表示母线平行于 z轴的柱面 其准线是 xOy
面的直线 x y 0 所以它是过
z 轴的平面
类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G( x z)
0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z) 0 分别表示母线
平行于 y 轴和 x 轴的柱面
例如 方程 x z 0 表示母线平行于 y 轴的柱面
其准线是 zOx 面上的直线
x z 0 所以它是
过 y 轴的平面
四、二次曲面
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲
面 把平面叫做一次曲面
怎样了解三元方程
F(x y z) 0 所表示的曲面的形状呢
方法之一是用坐标面和平行于坐标面 从而了解曲面的立体形状
的平面与曲面相截 做截痕法
考察其交线的形状
然后加以综合
这种方法叫
研究曲面的另一种方程是伸缩变形法 设 S 是一个曲面
其方程为 F(x y z) 0 S 是将曲面 S 沿 x 轴方向伸缩 若 (x y z) S 则 ( x, y, z) S
倍所得的曲面
显然 若 (x y z) S 则 ( x y z) S
1
因此 对于任意的 (x y z) S 有 F( x, y, z) 0 即 F( x, y, z) 0 是曲面 S 的方程
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§7 空间解析几乎与向量代数
例如，把圆锥面
x2 y2 a2 z2 沿 y 轴方向伸缩 b 倍 所得曲面的方程为
a
x2 ( y)2 a2 z2 即 x2 y2 z2
b
a 2 b2
a
(1) 椭圆锥面
2
x 由方程
y2 z2 所表示的曲面称为椭圆锥面 a2 b2
圆锥曲面在 y 轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面
x2
y
2
z 沿 y 轴方向伸缩 倍
2
b
所得曲面称为椭圆锥面
a2 a
以垂直于 z 轴的平面 z t 截此曲面 当 t 0 时得一点 (0 0 0) 当 t 0
x2
y2
2
x2 y z2 a2 b2
时 得平面 z t 上的椭圆
(at) 2 (bt)2 1
当 t 变化时 并缩为一点
上式表示一族长短轴比例不变的椭圆 综合上述讨论 x2
2
当 |t|从大到小并变为 0 时 这族椭圆从大到小
可得椭圆锥面的形状如图
(2) 椭球面 由方程
y2 z2
2
2
1 所表示的曲面称为椭球面
a b c
球面在 x 轴、 y 轴或 z 轴方向伸缩而得的曲面
2 2 2
2
c a
x2
倍 得旋转椭球面
y2 z2
2
b a
把 x y z a 沿 z 轴方向伸缩
a
c2 1 再沿 y 轴方向伸缩
倍
即得椭球面
x2
2
y2 z2
2
2
1
a b
(3) 单叶双曲面
c
由方程
x2y2z2
b2 c2
1 所表示的曲面称为单叶双曲面 a2
把 zOx 面上的双曲线
x2
y 轴方向伸缩 倍 即得单叶双曲面
b
a2
z 1绕 z 轴旋转 c2
2
得旋转单叶双曲面 x2y2
x 2
a 2
z2 1
c2
再沿
y
2 2
z 1 c2
a
(4) 双叶双曲面 由方程
b 2 c2
a2 b2
x2y2z2
1 所表示的曲面称为双叶双曲面 a2
2
2
把
面上的双曲线
zOx
x z a2 c2 1
绕 x 轴旋转 得旋转双叶双曲面
2
x2
2 y
z2 y2 1 a2 c2
再沿
bx
y 轴方向伸缩 倍 即得双叶双曲面
z
2
1
c
(5) 椭圆抛物面
a2
b2 c2
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x由方程 2
2
y
z 所表示的曲面称为椭圆抛物面
a2 b2
把 zOx 面上的抛物线
x22 z 绕 z 轴旋转
所得曲面叫做旋转抛物面
x2
2y2 z 再沿 y 轴方向
a 伸缩 b
倍 所得曲面叫做椭圆抛物面 x
a
2
y 2
z
a a2 b2
(6) 双曲抛物面由方程 x
2
y2
2
2
z 所表示的曲面称为双曲抛物面
a b
双曲抛物面又称马鞍面
用平面 x t 截此曲面
所得截痕 l 为平面 x t 上的抛物线
y2
t 2
b2
z
a2
其项点坐标为 (t, 0, t
2
2 ) 当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移 而 l 的项 a
点的轨迹 L 为平面 y 0 上的抛物线
z x2
a 2
因此 以 l 为母线 L 为准线 母线 l 的项点在准线
L 上滑动
且母线作平行移动
这样得到的曲面
便是双曲抛物面
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面
x2 y2
x2 y2
2
a 2 b 2 1 a 2 b 2 1 x ay
依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面
§7 4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线 设
F(x y z) 0 和 G(x y z) 0
是两个曲面方程 它们的交线为 C 因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程
所以
应满足方程组
F (x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
反过来
如果点 M 不在曲线 C 上
那么它不可能同时在两个曲面上
所以它的坐标不满足方
程组
因此 曲线 C 可以用上述方程组来表示
上述方程组叫做空间曲线
C 的一般方程
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口朝下
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§7 空间解析几乎与向量代数
例 1 方程组
x2y21
表示怎样的曲线
2x 3z 6
z 轴的圆柱面
其准线是 xOy 面上的圆 y 轴的柱面
解 方程组中第一个方程表示母线平行于
点O 半行为1 上的直线
圆心在原
方程组中第二个方程表示一个母线平行于
a 2 x2 y2
a )2 y2 ( a) 2
由于它的准线是
zOx 面
因此它是一个平面
z ( x
方程组就表示上述平面与圆柱面的交线
表示怎样的曲线
例 2 方程组
平行于 z 轴的圆柱面
2 2
解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O 半行为 a 的上半球面 第二个方程表示母线
它的准线是
xOy 面上的圆
a
这圆的圆心在点 ( , 0)
2
半行为
a
方程组就
2
表示上述半球面与圆柱面的交线
例2 方程组
z
4a 2 x2 y2 表示怎样的曲线
222
( x a) y a
解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点
线平行于 z 轴的圆柱面
O 半行为 2a 的上半球面 这圆的圆心在点 (a 0)
第二个方程表示母 半行为 a 方程组就
它的准线是 xOy 面上的圆
表示上述半球面与圆柱面的交线
二、空间曲线的参数方程
空间曲线 C 的方程除了一般方程之外
x x(t )
y y(t ) z z(t )
也可以用参数形式表示 只要将 C 上动点的坐标 x、y、
z 表示为参数 t 的函数
当给定 t t1 时 就得到 C 上的一个点 (x1 y1 z1 ) 随着 t 的变动便得曲线 叫做空间曲线的参数方程
C 上的全部点 方程组 (2)
2
2
2
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以角速度 绕 z 轴旋转 同时又以线速度 v 沿平
行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 、v 都是常数 ) 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方
程
解 取时间 t 为参数
运动到 M(x y z)( 图 7-44) 上以角速度
设当 t 0 时 动点位于 x 轴上的一点 A( a, 0
记 M 在 xOy 面上的投影为 M 所以经过时间 t,∠ AOM
t 从而
0)处 经过时间 t 动点由 A
M 的坐标为 x y,0
由于动点在圆柱面
绕 z 轴旋转
x |OM |cos∠ AOM acos t
y |OM |sin∠AOM asin t,
v 沿平行于 z 轴的正方向上升 所以
z MM
由于动点同时以线速度
vt .
因此螺旋线的参数方程为
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