发布时间 : 星期六 文章2010-2019十年高考真题分类汇编数学专题08数列更新完毕开始阅读
(1)设数列{xn}的公比为q,由已知q>0. ??1+??1??=3,2
由题意得{所以3q-5q-2=0. 2
??1??-??1??=2.因为q>0,所以q=2,x1=1,
因此数列{xn}的通项公式为xn=2.
(2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2-2=2, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意bn=
(??+??+1)n-1n-2
×2=(2n+1)×2, 2n
n-1
n-1
n-1
所以Tn=b1+b2+…+bn
=3×2+5×2+7×2+…+(2n-1)×2+(2n+1)×2.
0
1
2
n-2
n-1
-1
0
1
n-3
n-2
①
②
又2Tn=3×2+5×2+7×2+…+(2n-1)×2+(2n+1)×2, ①-②得
-Tn=3×2+(2+2+…+2)-(2n+1)×2=2+所以
(2??-1)×2??+1Tn=. 2
-1
2
n-1
n-1
3
2(1-2??-1)n-1
-(2n+1)×2. 1-220.(2017·山东·文T19)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. 1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列{????}的前n项和Tn.
??
??
2
(1)设{an}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,??1q=a1q,又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2.
2
n
(2)由题意知:S2n+1=
(2??+1)(??1+??2??+1)
=(2n+1)bn+1,
2又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1. 令cn=????,则cn=
??
??
2??+1
, 2??因此Tn=c1+c2+…+cn =2+
3
52
2+
72
3+…+??-12??-12
+
2??+1
. 2?? 25
又2Tn=
13
22
+
52
3+
72324+…+
2??-12??+1
+??+1, 2??212
2两式相减得Tn=+(+
1
212+…+
2
??-1)
1
?
2??+12
??+1,所以
Tn=5-
2??+5
. 2??*
21.(2017·天津·文T18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N).
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q)=12, 而b1=2,所以q+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,bn=2.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.① 由S11=11b4,可得a1+5d=16,②
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2. (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2, 有Tn=4×2+10×2+16×2+…+(6n-2)×2,
2Tn=4×2+10×2+16×2+…+(6n-8)×2+(6n-2)×2, 上述两式相减,得-Tn=4×2+6×2+6×2+…+6×2-(6n-2)×2Tn=(3n-4)2+16.
所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2+16.
22.(2016·全国2·理T17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 0,1≤??<10,1,10≤??<100,
(2)因为bn={
2,100≤??<1000,3,??=1000,
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
26
n+2
n+2
2
3
n
n+1
2
3
4
n
n+1
2
3
n
n
n
2
2
*
12×(1-2??)n+1n+2=-4-(6n-2)×2=-(3n-4)2-16.得
1-223.(2016·全国2·文T17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. (1)设数列{an}的公差为d, 由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3, 解得a1=1,d=5. 所以{an}的通项公式为an=(2)由(1)知,bn=[5]. 当n=1,2,3时,1≤
2??+3
<2,bn=1; 52??+3
2??+3
. 5
2
当n=4,5时,2≤5<3,bn=2; 当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4≤
2??+3
<4,bn=3; 52??+3
2??+3
<5,bn=4. 5
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
24.(2016·浙江·文T17)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N. (1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和. ??+??2=4,??=1,
(1)由题意得{1则{1
??2=2??1+1,??2=3.又当n≥2时,
由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an. 所以,数列{an}的通项公式为an=3,n∈N. (2)设bn=|3-n-2|,n∈N,b1=2,b2=1. 当n≥3时,由于3>n+2,故bn=3-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n≥3
9(1-3??-2)(??+7)(??-2)时,Tn=3+1-3?2n-1
n-1
n-1
*
n-1
*
*
=
3??-??2-5??+11
, 2所以Tn={3??-??2-5??+11
22,??=1,
,??≥2,??∈??*.
25.(2016·北京·文T15)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
27
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. (1)等比数列{bn}的公比q=??3=3=3, 2所以b1=??2=1,b4=b3q=27. 设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3.因此cn=an+bn=2n-1+3. 从而数列{cn}的前n项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3 =
??(1+2??-1)1-3??23??-1
+1-3=n+2. 22
n-1n-1
n-1
??9
??
26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令cn=
(????+1)
??+1??(????+2)
,求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d.
??=??1+??2,11=2??1+??,
由{1即{ ??2=??2+??3,17=2??1+3??,可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn=
(6??+6)
??+1??(3??+3)
=3(n+1)·2.
n+1
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2], 2Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],
两式作差,得-Tn=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2=-3n·2,所以Tn=3n·2.
27.(2016·天津·理T18)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N,bn是an和an+1的等比中项.
*
n+2
n+22
3
4
n+1
n+2
3
4
n+2
2
3
n+1
4(1-2??)
]=3×[4+-(??+1)×2??+2]
1-2 28