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江苏省南菁高级中学2012-2013学年度第二学期高二暑假作业
文科--函数与导数Ⅰ
一、填空题 1、函数f(x)?1nx?2的定义域是___{x|x??1或x?2}______________. x?12、函数f(x)?(x?1)lnx的零点个数 1 3、曲线f(x)?f?(1)x11e?f(0)x?x2在点(1,f(1))处的切线方程为_y?ex?_______. e22m
4、若关于x的方程log1x=在区间(0,1)上有解,则实数m的取值范围 (0,1)
1-m2
x
??2+1,x<1,
5、已知函数f(x)=?2若f[f(0)]=4a,则实数a等于 2
?x+ax,x≥1,?
6、关于x的不等式(2ax?1)lnx?0对任意x?(0,??)恒成立,则实数a的值为__
1___. 27、已知f(x)在定义在R上的奇函数,当x≥0时,值域为[-2,3],则y=f(x)(x∈R)值域[-3,3]
2
??ax+1,x≥0
8、函数f(x)=?2在(-∞,+∞)上单调,则a取值范围(-∞,-2]∪(1,2] ax
??a-1?e,x<0?
9、函数y=ax1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图像上,
-
11
其中m,n>0,则+的最小值为_4_______.
mn
10、定义在R上的函数f(x),对任意x∈R都有f(x?2)?f(x),当x?(?2,0) 时,f(x)?4x,
则f(2013)?__11、若f(x)??1______. 412(?1,??)上是减函数,则b的取值范围是 (??,?1] x?bln(x?2)在
2F?n,2?
12、定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=(n∈N*),若对任意正整
F?2,n?数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为__8/9______.
1
13、已知函数f(x)满足f(x+1)=,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间
f?x?1
[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有四个零点,则实数k的取值范围 (0,]
4
?2,x?[0,1]
14、若函数f(x)=?则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为_{x|0?x?1,或
?x,x?[0,1].
x=2}_______.
二、解答题
2
15、已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且x>0时,f(x)=x-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间. 解 ∵f(x)的图象关于原点对称,
2
∴f(-x)=-f(x),又当x>0时,f(x)=x-2x+3,
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∴当x<0时,f(x)=-x-2x-3.当x=0时,f(x)=0.
2
x-2x+3,x>0.??
∴函数解析式为:f(x)=?0,x=0,
??-x2-2x-3,x<0.
2
作出函数的图象如图.根据图象可以得函数的增区间为:
(-∞,-1),(1,+∞).
函数的减区间为:(-1,0),(0,1).
16、设函数f(x)?x(e?1)?ax,a?R,其中e为自然对数的底数.[来源:Z,xx,k.Com]
x21,求f(x)的单调递增区间; 2(Ⅱ)若当x?0时,f(x)?0恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)若a?【答案】
a
17、已知函数f(x)=-x,(a>0,a≠1).
a+a1??1
(1)证明函数y=f(x)的图象关于点?,-?对称;
2??2(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
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1??1
(1)证明 函数f(x)的定义域为R,任意一点(x,y)关于点?,-?对称的点的坐标为(1-x,
2??2-1-y).
a
由已知,f(x)=-x,则-1-y=-1+x=-x.f(1-x)=-1-x=-a+aa+aa+aa+a
aa
x+aa
=-=-x,∴-1-y=f(1-x). x
a+a·aa+a
a·a
x
aaa
x
a
x
1??1
即函数y=f(x)的图象关于点?,-?对称.
2??2(2)解 由(1)知有-1-f(x)=f(1-x).
即f(x)+f(1-x)=-1.
∴f(-2)+f(3)=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=-1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
18、函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)
+f(x2). (1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
解 (1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),即f(-x)=f(x). 所以f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 所以f(3x+1)+f(2x-6)≤3即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)① 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以①等价于不等式组: ??3x+1??2x-6?>0,??3x+1??2x-6?<0,?或? ?3x+1??2x-6?≤64,-?3x+1??2x-6?≤64.??1??x>3或x<-3,
?7??-3≤x≤5,
1??-<x<3,
或?3??x∈R,
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所以3<x≤5或-3≤x<-3或-3<x<3.
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故x的取值范围为{x|-3≤x<-3或-3<x<3或3<x≤5}. 19、已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx ,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
1-2x+1
解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,所以f′(x)=-2+= (x>0)
1
2
xx1
由f′(x)>0得x∈(0,) . 21
所以函数f(x)的单调增区间为(0,) 21
(2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,
x所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2 由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解, 12
即关于x的方程m(x-1)-x+1+lnx=0有且只有一个解.
212
令g(x)=m(x-1)-x+1+lnx(x>0).
2
1mx-(m+1)x+1(x-1)(mx-1)
则g′(x)=m(x-1)-1+==(x>0)
2
xxx11①当0 mm11 所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数. mm又g(1)=0,且当x→∞时,g(x)→∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点. 故0 ②当m=1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题意. 11 ③当m>1时,由g′(x)>0得0 mm11 所以函数g(x)在(0,) 为增函数,在(,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数. mm又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点. 故m>1不合题意. 综上,实数m的值为m=1 函数与导数Ⅰ 第 4 页 共 5 页 1 20、在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数xf(x)为减函数,则称函数f(x)为“弱增函数”,已知函数f(x)=1- 1 . 1+x (1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”; 1 (2)设x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,证明:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|; (3)当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤围. 11?1-1?11+x-1 ??=·(1)解 显然f(x)在区间(0,1)上为增函数,因为xf(x)=x·1+x?x?1+x1x =x· 1+x?1+x+1? 11 =,所以xf(x)为减函数,因此f(x)是“弱增”函数. 1+x+1+x(2)证明 1?|1+x2-1+x1|?1 -?=|f(x1)-f(x2)|=?= 1+x2??1+x1|1+x11+x2| 1 ≤1-bx恒成立,求实数a,b的取值范1+x |x1-x2| . 1+x1·1+x2·?1+x1+1+x2? 因为x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,所以1+x1·1+x2·(1+x1+1+x2)>2,所1 以|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|. (3)解 当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤ 1 ≤1-bx恒成立.所以当x=0时,1+x 1a≥??xf?x?, 不等式显然成立,当x∈(0,1]时,等于?1 b≤??xf?x?21112 1-2≤xf(x)<2,所以a≥2且b≤1-2. 1 恒成立由(1)知xf(x)为减函数, 函数与导数Ⅰ 第 5 页 共 5 页