发布时间 : 星期一 文章高中数学培优专题08 数列(解析版)更新完毕开始阅读
＝1+3?（）0+7?（）1+…+（4n﹣5）（）n2， ?
﹣
bn
3?（）+7?（）2+…+（4n﹣5）（）n1， ?
﹣
相减可得bn
4[（）+（）2+…+（）n2]﹣（4n﹣5）（）n1 ?
﹣
﹣
4?
（4n﹣5）（）n1， ?
﹣
化简可得bn＝15﹣（4n+3）（）n2． ?
﹣
37．【2018年上海21】给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．
（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近．
理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列，
可得an，bn＝an+1+11，
则|bn﹣an|＝|1|＝1
1，n∈N*，
可得数列{bn}与{an}接近；
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（2）{bn}是一个与{an}接近的数列， 可得an﹣1≤bn≤an+1，
数列{an}的前四项为：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8， 可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，
可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等， 集合M＝{x|x＝bi，i＝1，2，3，4}， M中元素的个数m＝3或4；
（3）{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 可得an＝a1+（n﹣1）d，
①若d＞0，取bn＝an，可得bn+1﹣bn＝an+1﹣an＝d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；
②若d＝0，取bn＝a1，则|bn﹣an|＝|a1a1|
1，n∈N*，
可得bn+1﹣bn0，
则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1＝a2n﹣1﹣1，b2n＝a2n+1， 则b2n﹣b2n﹣1＝a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）＝2+d＞0，
则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意； ④若d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即为an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1， 可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）＝2+d≤0，
b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意． 综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．
38．【2018年天津理科18】设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*）， （i）求Tn；
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（ii）证明2（n∈N*）．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a3＝a2+2，可得q2﹣q﹣2＝0． ∵q＞0，可得q＝2． 故
．
设等差数列{bn}的公差为d，由a4＝b3+b5，得b1+3d＝4， 由a5＝b4+2b6，得3b1+13d＝16， ∴b1＝d＝1． 故bn＝n；
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，
故（
ii
）
证
； 明
：
∵
．
∴
2．
39．【2017年江苏19】对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k＝2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an＝a1+（n﹣1）d， 则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，
＝（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）， ＝2an+2an+2an， ＝2×3an，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）证明：当n≥4时，因为数列{an}是P（3）数列，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3＝6an，①
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因为数列{an}是“P（2）数列”，所以an﹣2+an﹣1+an+1+an+2＝4an，② 则an﹣1+an+an+2+an+3＝4an+1，③，
②+③﹣①，得2an＝4an﹣1+4an+1﹣6an，即2an＝an﹣1+an+1，（n≥4）， 因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6＝4a4， 所以a2＝4a4﹣a3﹣a5﹣a6＝4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）＝a3﹣d，
因为a1+a2+a4+a5＝4a3，所以a1＝4a3﹣a2﹣a4﹣a5＝4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）＝a2﹣d， 也即前3项满足等差数列的通项公式， 所以{an}为等差数列．
40．【2017年浙江22】已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn；
（Ⅲ）
xn．
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当n＝1时，x1＝1＞0，成立， 假设当n＝k时成立，则xk＞0，
那么n＝k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk＝xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn＝xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1， 因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn＝xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn＝xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函数f（x）＝x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）＝0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
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