发布时间 : 星期一 文章高中数学培优专题08 数列(解析版)更新完毕开始阅读
专题08数列
1．【2019年新课标3理科05】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（ ） A．16
B．8
C．4
D．2
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
，∴
，
∴，
故选：C．
2．【2019年新课标1理科09】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10
C．Sn＝2n2﹣8n
D．Sn
n2﹣2n
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由S4＝0，a5＝5，得
，∴
， ∴an＝2n﹣5，，
故选：A．
3．【2019年浙江10】设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an+1＝an2+b，n∈N*，则（ ）
A．当b时，a10＞10 B．当b时，a10＞10
C．当b＝﹣2时，a10＞10 D．当b＝﹣4时，a10＞10
【解答】解：对于B，令0，得λ，
取，∴
，
1
）∴当b
时，a10＜10，故B错误；
对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10， ∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；
对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得
，
取，∴，…，10，
∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；
对于A，，，
，
an+1﹣an＞0，{an}递增，
当n≥4时，
an1，
∴，∴
（）6，∴a10
10．故A正确．
故选：A．
4．【2018年新课标1理科04】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（A．﹣12
B．﹣10
C．10
D．12
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，
）2
∴
a1+a1+d+4a1d，
把a1＝2，代入得d＝﹣3 ∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10． 故选：B．
5．【2018年浙江10】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（ ） A．a1＜a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4
B．a1＞a3，a2＜a4 D．a1＞a3，a2＞a4
【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同， a1＞1，设公比为q，
当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），不成立， 即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．
当q＝﹣1时，a1+a2+a3+a4＝0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；
当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）不成立， 当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），能够成立， 故选：B．
6．【2017年新课标1理科04】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ ） A．1
B．2
C．4
D．8
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，
∴
解得a1＝﹣2，d＝4， ∴{an}的公差为4． 故选：C．
，
7．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，
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21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440
B．330
C．220
D．110
【解答】解：设该数列为{an}，设bn
2n+1﹣1，（n∈N+），则
ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，
可知当N为
时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由
435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．
B项，仿上可知B项不符合题意．
325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故
C项，仿上可知
数幂，故C项不符合题意．
210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整
D项，仿上可知故D项不符合题意． 故选A．
105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，
方法二：由题意可知：，，，，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N＝1+2+3+…+n，
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