发布时间 : 星期六 文章概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）更新完毕开始阅读
P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A)
P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15 P(B|A)???0.3?P(B)
P(A)0.5 P(A|B)? P(B|A)?P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B)
P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是
0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则 B?题意
?BA，且按
ii?14P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.
由全概率公式有：
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145
i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知P(B|A1)?6/10，
P(B|A2)?8/14，所以
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?(2) P(B)?161841???? 21021470147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02
?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。
解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52
P(A)P(B|A)0.6?0.812??.
P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C(2) P(A|B)?生产的概率。
解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此
P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02
?0.014?0.008?0.0345 ?0.0125 P(A)P(D|A)0.25?0.05P(A|D)???0.362
P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406
P(D)0.0345
P(C)P(D|C)0.4?0.02??0.232
P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，P(A?B). 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq P(C|D)? P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq
11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有
P(A)P(B)?P(A)P(B)
从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)
再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??A，因而
ii?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的
概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 1 2 解 记 A?{通达}，
Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6
3 4 则 A?AA?AA?AA， 所以
5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)
图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)
123456?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.
??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
32解 p???3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104.
????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).
?3??3?解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)
?3?193依假设 ??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)?i123??27?i?1?83所以， (1?p)?， 此即 p?1/3.
2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，
i?1,2,3. 则次品率
?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097
?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则
?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
?10??1?63解 (1) ? ； ?????5?2256????10610???1?(2) ???k???2?.
k?4????20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 解 (1) 1?(1?0.75)?1?(0.25)?24410255 2562?4?27?3??1?22?(0.75)(0.25)?6???(2) ? ?????2?44128??????81?3?(3) (0.75)4????
4256??
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
4i,i?0,1,2,3,4,5； 155?i2,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；
4i?1,i?1,2,3,4,5。 （4）pi?25（1）pi???解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为
pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。
i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为
5?94???0；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为66520p??1。 ?i25i?1c2. 试确定常数c，使P?X?i??i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量X的分布律，并求：P?X?2?；
25??1P??X??。
2??2p3?
16ccc?成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得； ?1?i312i2i?0（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?
16?11?28 ? ?1????31?24?315?16?11?12?1（3）P??X???P?X?1??P?X?2??????。
2231???24?31解 要使
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个
球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??X 概率 X的分布函数
0 x??3
4111,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为 326-3 1 2 1 31 21 6F?x??P?X?x?=
1 ?3?x?1 35 1?x?2
6 1 x?2
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的
11?；事件?X?4?表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个?5?10??3?????3??4???1??1??2??2??3?????6。
球可在1、2、3号球中任选，此时P?X?4???；同理可得P?X?5??1010?5??5??????3??3?????X的分布律为
X 3 4 5 136 概率 101010X的分布函数为
0 x?3
1 F?x?? 3?x?4
104 4?x?5
10 1 x?5
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。 解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律
只能为1号，2号，即P?X?3???5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5，
??具体计算后可得
X 0 1 2 3248144 概率 31256256253 4 5 216 625162 625243 3125