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(xyx?1)k?xyx?1?xykx?1?xyx?1 ?x?1xykx?1x?x?1xyx?1x,即yk?y.
9.设e是群G的单位元,a,b是G的两个元素,问下列命题是否成立?为什么? (1)(ab)?1?a?1b?1; (2)(ab)?2?b?2a?2; (3)若a2?e,则a?a?1.
答 (1)当ab?ba时,(ab)?1?(ba)?1?a?1b?1,即命题(1)成立.当
ab?ba时,(ab)?1?(ba)?1,而(ba)?1?a?1b?1.因此(ab)?1?a?1b?1,即命题(1)不成立. (2)当(ab)2?a2b2时,((ab)2)?1?(a2b2)?1,即(ab)?2?b?2a?2,亦即命题(2)成立.当
(ab)2?a2b2时,((ab)2)?1?(a2b2)?1,即(ab)?2?b?2a?2,亦即命题(2)不成立.
(3)将等式a2?e的两边左乘a?1即得a?a?1.因此命题(3)成立.
§2.3元素的阶
1.在非零有理数乘群Q?中,求下列各个数的阶:
1 (1)1;(2)?1;(3)2;(4).
2 解 由于1是Q?的单位元,因此1的阶是1.由于?1?1,(?1)2?1,因此?1的阶是2.
1由于2和的任何正整数次幂都不等于1,因此它们的阶都是无限阶元素.
2 2.设am?e,m?N,若?n?Z,由an?e,可以推出m|n,证明:|a|?m.
证明 由于am?e,因此|a|?m.由于|a|?Z且a|a|?e,因此m||a|.由于m,|a|?N,因此由m||a|可以断言m?|a|.所以|a|?m.
3.设G是群,a,x?G,证明:|a?1|?|a|,|x?1ax|?|a|. 证明 令e表示G的单位元.
对于任意的b?G和任意的m?N,我们有
bm?e?(b?1)m?bm(b?1)m?(bb?1)m?em?e.
因此
|b?1|?|b|.
在上式中,令b?a,得
|a?1|?|a|;
令b?a?1,得
|a|?|(a?1)?1|?|a?1|.
所以|a?1|?|a|.
其次,对于任意的b,y?G和任意的m?N,我们有
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(y?1by)m?y?1bmy,
从而
bm?e?(y?1by)m?y?1bmy?y?1ey?y?1y?e.
因此
|y?1by|?|b|.
在上式中,令b?a,y?x得
|x?1ax|?|a|;
令b?x?1ax,y?x?1,得
|a|?|x(x?1ax)x?1|?|x?1ax|.
所以|x?1ax|?|a|.
4.设在群G中2阶元素只有一个,a.证明:对于G中每一个元素x,都有ax?xa. 证明 任意给定x?G.这样一来,根据上一题的结论,我们有
|x?1ax|?|a|?2.
由于G中2阶元素只有一个,因此x?1ax?a.由此可见ax?xa. 5.设群G的每一个非单位元的元素都是2阶的,证明:G是交换群.
证明 令e表示G的单位元.任意给定x,y?G.由于xy的阶只能是1或2,因此
xyxy?e.
由于x和y的阶只能是1或2,从而x?1?x,y?1?y,因此将上式两边右乘yx,可得
xy?yx.这样一来,由于x和y的任意性,我们可以断言,G是交换群. 6.设G是一个非交换群,证明:G中存在非单位元a,b,使得ab?ba.
证明 由于G是一个非交换群,根据上题的结论,存在阶不是1和2的元素a?G.令
b?a?1.显然a和b都不是G的单位元,并且ab?ba.
7.设G是一个有限交换群,m是G的元的阶中最大一个,证明:G的每一个元的阶整除m.
证明 设a,b?G且|a|?m,|b|?n.现在要证明n|m.为此,令r?(m,n).显
nnmn然,|br|?,(,m)?1.由于G是交换群,根据本节的例2,|abr|?|a||br|?.因为mrrrnmn是G的元的阶中最大一个,所以?m,从而?1.由此可见r?n,即(m,n)?n.所以
rrn|m.
8.设G是一个有限群,证明:
(1)在G中,阶大于2的元素的个数一定是偶数;
(2)在G中,阶等于2的元素的个数与G的阶有相反的奇偶性.
证明 (1)当然G是一个非空集合.现在我们定义集合G上的关系R如下:对于任意的a,b?G,
aRb?a?b或a?b?1.
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不难验证,R是等价关系.令S表示等价关系R所确定的集合G的分类;对于任意的
a?G,将以a为代表的类记作[a].任意给定a?G.显然,当|a|?2时,|[a]|?1.当
|a|?2时,a?1?a,从而,[a]?{a,a?1}.这样一来,当G中没有阶大于2的元素时,在G中
阶大于2的元素的个数是0,因而是偶数.当G中有阶大于2的元素时,由于G是有限集,G中阶大于2的全体元素组成集合是有限个互不相交的二元集的并,因而在G中阶大于2的元素的个数是偶数.
(2)显然,|G|?(G中阶大于2的元素的个数?1)?G中阶等于2的元素的个数.因为(G中阶大于2的元素的个数?1)是奇数,根据上式可以断言:在G中,阶等于2的元素的个数与G的阶有相反的奇偶性. 9.证明:循环群是交换群.
证明 设G是循环群.不妨假设G?(a).于是,对于任意的x,y?G,存在m,n?Z,使得
x?am,y?an,
从而,
xy?aman?am?n?anam?yx.
所以G是交换群.
10.设n|m,证明:方程xn?e在m阶循环群中有n个解.
m 证明 不妨设G?(a)是m阶循环群.令q?.显然,下列n个元素是方程xn?e在
nG中的n个不同的解:
a0,aq,a2q,?,a(n?1)q
另一方面,假设ak(0?k?m?1)是方程x?e在G中的解,则m|kn,从而,q|k.因此
k?{0,q,2q,?,(n?1)q}.所以方程xn?e在G中只有上述n个的解.
n 11.求出6次单位根群U6的每一个元素的阶与所有生成元.
解 U6?(ε),其中ε?ei2π6.由于
|?0|?1,|ε|?6,|ε2|?3,|ε3|?2,|ε4|?3,|?5|?6.
因此只有ε和ε5是U6的生成元.
§2.4子群
1.设G是交换群,证明:G的所有有限阶元素的集合作成G的子群.
证明 令H表示G的所有有限阶元素的集合,e表示的单位元.显然e?H,从而
H??.设a,b?H.于是存在正整数m,n,使得
|a|?m,|b|?n,
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从而
(ab?1)mn?(am)n((bn)m)?1?en(em)?1?e.
因此ab?1?H.所以H≤G. 2.设G是群,??S?G,令
CG(S)?{x?G|xs?sx,?s?S}.
证明:CG(S)≤G.(CG(S)称为S在G内的中心化子.)
证明 令e表示的单位元.显然e?CG(S),从而CG(S)??.设x,y?CG(S).我们有
(xy)s?x(ys)?x(sy)?(xs)y?(sx)y?s(xy),?s?S;
sx?xs,?s?S,
从而(将上式两边左乘x?1,右乘x?1),
x?1s?sx?1,?s?S.
因此xy,x?1?CG(S).所以CG(S)≤G.
2.设G是群,??S?G,令
NG(S)?{x?G|xS?Sx}.
证明:NG(S)≤G.(NG(S)称为S在G内的正规化子.)
证明 令e表示的单位元.显然e?NG(S),从而NG(S)??.设x,y?NG(S).我们有
(xy)S?x(yS)?x(Sy)?(xS)y?(Sx)y?S(xy);
Sx?xS,
从而(将上式两边左乘x?1,右乘xNG(S)≤G.
?1),x?1S?Sx?1.因此xy,x?1?NG(S).所以
4.设T表示数域P上全体n阶上三角矩阵组成的集合,D表示数域P上全体n阶对角矩阵组成的集合,S表示数域P上全体n阶对称矩阵组成的集合,证明:T,D,S都是数域P上n阶矩阵加群(Mn(P),?)的子群. 证明 显然.
5.设O表示数域P上全体n阶正交矩阵组成的集合,证明:O是一般线性群
GL(n,P)的子群.
证明 众所周知,GL(n,P)中元素的乘法就是矩阵的乘法,对于任意的
A?GL(n,P),A的逆元就是A的逆矩阵.这样一来,由于数域P上的n阶单位矩阵是数
域P上的正交矩阵,数域P上的任意两个n阶正交矩阵的乘积仍是数域P上的n阶正交矩阵,数域P上的任意一个n阶正交矩阵的逆矩阵仍是数域P上的n阶正交矩阵,因此
O是一般线性群GL(n,P)的子群. 6.设H,K都是G的子群,证明:
(H?K)a?Ha?Ka,?a?G.
证明 任意给定a?G.显然,对于任意的x?G,我们有
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