发布时间 : 星期日 文章解析几何中定点定值问题更新完毕开始阅读
点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
x2y2解法一：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?。 …………………
ab∵a?2，e?c3?，∴c?3，b2?a2?c2?1。 a21分
……………… 4分
x2∴椭圆C的方程为2?y2?1。 ……………………………………… 5分
4?333??3?x?, A1P的方程是y?（Ⅱ）取m?0,得P?，直线1,,Q1,?????2???632????直线A2Q的方程是y?3x?3,交点为S14,3. …………7分, 2???3??3?S4,?3. 若P?1,?,Q1,?????2??，由对称性可知交点为22??????若点S在同一条直线上，则直线只能为:x?4。…………………8分
?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上，由?4得
?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0，
9分
???2m?3。………… ,yy?1222m?4m?4yy16y1,得y0?. 设A1P与交于点S0(4,y0),由0?4?2x1?2x1?2记P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则y1?y2?设A2Q与交于点S0?(4,y0?),由
2y2y0?y2.……… 10 ?,得y0??x2?24?2x2?2y0?y0??6y?my2?1??2y2?my1?3?4my1y2?6?y1?y2?6y12y2???1 x1?2x2?2?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2??12m?12m?22m?4m?4?0，……12分 ??x1?2??x2?2?∴y0?y0?，即S0与S0?重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x?4上。 13分
?333??3?x?,直线A2Q的方程是A1P的方程是y?解法二：（Ⅱ）取m?0,得P?，直线1,,Q1,?????2???632????3x?3,交点为S14,3. ………………………………………… 7分 2111?83?取m?1,得P?,?,Q?0,?1?，直线A1P的方程是y?x?,直线A2Q的方程是y?x?1,交点为S2?4,1?.632?55?y???∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x?4。 ……………8分
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?x22??y?1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线:x?4上。事实上，由?4得
?x?my?1??my?1?2?4y2?4,即
?m2?4?y2?2my?3?0，记
P?1x?1?,?y2，,2则Qx?2m?3。………………9分 ,yy?212m2?4m2?4y1yyyA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?,消去y,得1?x?2??2?x?2?…
x1?2x2?2x1?2x2?2y1?y?
①以下用分析法证明x?4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明
②
6y12y2?,即证x1?2x2?23y1?my2?13即证,2my1y2?3?y1?y2?.……………… ??y2?my1??∵
2my1y?3?y?y???6m?6m:x?4上。这说明，当m变化时， ??20,∴②式恒成立。1点S恒在定直线22m?4m?42?x22??y?12解法三：（Ⅱ）由?4得?my?1??4y2?4,即m2?4y2?2my?3?0。
?x?my?1???记P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则y1?y2??2m?3。…………… ,yy?12m2?4m2?4y1yA1P的方程是y??x?2?,A2Q的方程是y?2?x?2?, ……
x1?2x2?2
6分 7分
y1?y??x?2?,?x?2yy2?1由?得1?x?2???x?2?, …………………
x?2x?2y122?y?x?2?,??x2?2?即x?29分
y2?x1?2??y1?x2?2?y?my1?3??y1?my2?1?2my1y2?3y2?y1?2?22
3y2?y1y2?x1?2??y1?x2?2?y2?my1?3??y1?my2?1?2m?2?3??2m??3?y???y112m2?4m?4???4. ………………………………
??2m?3?2?y1??y1?m?4? 12分
这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x?4上。………………
四、 其它定值问题
13分
x2y23例11、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?
ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交于不同
的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.
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22解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，
22圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x20202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②
?3x2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4?∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90.
x2y2例12、己知椭圆2?2?1 （a>b>0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、
abQ1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。
y 探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则A2B2的方程为 P2 A1 Q2 O B1 P1 A2 x B2 Q1 xy??1，原点O到直线A2B2的距离为r?ab22aba?b22，
a2b2则与菱形A1B1A2B2内切的圆方程为x?y?2。 2a?b.
证明：设直径P1P2的方程为y?kx, 则Q1Q2的方程为y??1x k?2a2b2?y?kxx?2222?22(k?1)ab?2?22b?ak ?OP???x?y?1 解得? 2222222kabb?ak?y2???a2b2?b2?a2k2?(k2?1)a2b2 同理OQ2=，作OH⊥P2Q2 则OH?222a?bk2
OP2?OQ2OP2?OQ22222?aba?b22
a2b2 又四边形P1Q1P2Q2是菱形，?菱形P1Q1P2Q2必外切于圆x?y?2.
a?b2例13、已知P(x0,y0)是双曲线xy?a2(a?0)上的一个定点，过点P作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。
a2探索定值：取P(x0,)，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线
x0a2a2与曲线的另一个交点P )，其斜率kPP?1(?x0,?21x0x0y P2 ?kPP2把y?xx??02 PP2的方程为y?y0??02(x?x0)
aaxaax代入解得P2(3,02) ?kP1P2?02（定值） xax0a1， k222P O P1 x 432 证明：设PP1的斜率为k，则PP2的斜率为 －
∴PP1的方程为y?y0?k(x?x0) PP2的方程为y?y0??1(x?x0)，与抛物xy?a2 联立解得k2y0a2ka2a2x0P1(?,?)、 P2(ky0,)，从而kP1P2?2?2（定值）
ky0ky0y0aEX：过抛物线y=2px（P>0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。 推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。 五、练习
2
1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M2点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。
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