发布时间 : 星期三 文章山西省高考数学三模试卷(理科) Word版(含解析)更新完毕开始阅读
【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2b，由此能求出椭圆C的标准方程． y1）By2）（2）设A（x1，，（x2，，则P（
y1）Q，，（
，|DE|=，列出方程组，求出a，
），由OP⊥OQ，即=0，
当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立
，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦
长公式能求出△ABC的面积为1． 【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C：D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2
，解得a=2，b=1，c=
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点， ，
，|DE|=
∴，
∴椭圆C的标准方程为=1．
，y1），Q（
），
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（由OP⊥OQ，即
=0，（*）
①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1． ②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0， 联立
，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=16（4k2+1﹣m2），
，
同理，
此时，△=16m2＞0， AB=
|x1﹣x2|=
，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，
，
h=，∴S=1，
综上，△ABC的面积为1．
21．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O． （1）求实数a，b的值；
（2）若f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；
=ex﹣（x2+2x+2）（2）由题意可得（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x），求出导数和单调区间，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx
﹣n=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为 f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），
由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0， 即有a=0，b=1；
（2）f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为
[（x﹣1）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0， 即有（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*） 由g（x）=ex﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=ex﹣x﹣1， 设h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1，
当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0， 即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，
可得g（x）≥g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≥0；
当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0， 即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，
可得g（x）≤g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≤0．
由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立， 且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立， 即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根， 可得n=0，m=﹣1， 则m+n=﹣1．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C． （1）求证：OC⊥AB； （2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；
（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形， 则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°， ∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP， ∴OP2=PN2+ON2，∴
∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而∴
由相交弦定理可得MN?CM=BM?AM，又∴
．
，
， ，
，
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+
）．
（1）写出曲线C的参数方程；
y轴的垂线，B，（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，垂足分别为A，求矩形OAPB
的面积的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，
1+2sinθ）（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，，表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，
根据二次函数的性质即可求出答案． 【解答】解：（1）由
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4． 故曲线C的参数方程
（θ为参数）．
得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，
（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π）， 则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）| 令
，
故当
时，
．
，t2=1+2sinθcosθ，
[选修4-5：不等式选讲] 24．已知不等式
＜|1+|﹣|1﹣|＜
对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可． 【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+＞0， 不等式即不等式
＜|1+|﹣|1﹣|＜＜1+﹣|1﹣|＜
对x∈（0，+∞）恒成立， 对x∈（0，+∞）恒成立．
即对x∈（0，+∞）恒成立．
即，
∴
解得：1＜a＜8；
，