发布时间 : 星期日 文章李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社更新完毕开始阅读
且R?(xk)?R?(xk?1)?0
?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2
其中g(x)是关于x的待定函数，
现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点，作函数
?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2
根据余项性质，有
?(xk)?0,?(xk?1)?0
?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2?f(x)?H3(x)?R(x)?0?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2] ??(t)?f?(t)?H3
???(xk)?0
??(xk?1)?0
由罗尔定理可知，存在??(xk,x)和??(x,xk?1)，使
??(?1)?0,??(?2)?0
即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理，???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点， 故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点， 依此类推，?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。
记为??(xk,xk?1)使
?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0
(4)又QH3(t)?0
f(4)(?)?g(x)?,??(xk,xk?1)
4!编辑版word
其中?依赖于x
f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2
4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k?0,1,L,n)，设步长为h，即
xk?x0?kh,k?0,1,L,n在小区间[xk,xk?1]上
R(x)?f(4)(?)4!(x?x2k)(x?xk?1)2?R(x)?1 4!f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2?14!(x?xk)2(xk?1?x)2maxa?x?bf(4)(x)?1[(x?xk?xk?1?x)2]2maxf(4)( 4!2a?x?bx)?1
4!?1424hmaxa?x?bf(4)(x)?h4max?x?bf(4)384a(x)16．求一个次数不高于
4
次的多项式
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
x0?0,x1?1y0?0,y1?1 m0?0,m1?111H3(x)??yj?j(x)?0?mj?j(x)j?j?0?x?x0x?x120(x)?(1?2x)()
0?x1x0?x1?(1?2x)(x?1)2?x?x1x?x021(x)?(1?2x)()1?x0x1?x0
?(3?2x)x2?0(x)?x(x?1)2?1(x)?(x?1)x2
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P（x），使它满足
?H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2
22设P(x)?H3(x)?A(x?x0)(x?x1)
其中，A为待定常数
QP(2)?1?P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2?A?1 412x(x?3)2 42
从而P(x)?17．设f(x)?1/(1?x)，在?5?x?5上取n?10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：
若x0??5,x10?5 则步长h?1,
xi?x0?ih,i?0,1,L,10
f(x)?1 21?x在小区间[xi,xi?1]上，分段线性插值函数为
Ih(x)?x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)
xi?xi?1xi?1?xi11?(x?x) i1?xi21?xi?12 ?(xi?1?x)各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x??4.5时，f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486 当x??3.5时，f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794 当x??2.5时，f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500 当x??1.5时，f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500 当x??0.5时，f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500
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误差
h2maxf(x)?Ih(x)?maxf??(?) xi?x?xi?18?5?x?51 21?x?2x?f?(x)?,22(1?x)又Qf(x)?6x2?2f??(x)?(1?x2)324x?24x3f???(x)?(1?x2)4令f???(x)?0
得f??(x)的驻点为x1,2??1和x3?0
1f??(x1,2)?,f??(x3)??22 1?maxf(x)?Ih(x)??5?x?5418．求f(x)?x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：
在区间[a,b]上，x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,L,n?1,
2h?maxhi0?i?n?1Qf(x)?x2
?函数f(x)在小区间[xi,xi?1]上分段线性插值函数为
Ih(x)??x?xi?1x?xif(xi)?f(xi?1)xi?xi?1xi?1?xi12[xi(xi?1?x)?xi?12(x?xi)]hi
误差为
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