发布时间 : 星期六 文章李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社更新完毕开始阅读
?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）。
解：函数f(x)的Taylor展式为
f(x?h)?f(x)?f?(x)h?其中??(x,x?h)
11(m)1f??(x)h2?L?f(x)hm?f(m?1)(?)hm?1 2m!(m?1)!又Qf(x)是次数为m的多项式
?f(m?1)(?)?0??f(x)?f(x?h)?f(x) ?f?(x)h?
11(m)f??(x)h2?L?f(x)hm 2m!??f(x)为m?1阶多项式 ?2f(x)??(?f(x)) ??2f(x)为m?2阶多项式
依此过程递推，得?f(x)是m?k次多项式
k??mf(x)是常数 ?当l为正整数时，
?m?1f(x)?0
9．证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk 证明
?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk
?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk
?gk?1(fk?1?fk)?fk(gk?1?gk)?gk?1?fk?fk?gk?fk?gk?gk?1?fk
?得证
10．证明
?f?gkk?0n?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0n?1证明：由上题结论可知
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fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk
??fk?gkk?0n?1n?1??(?(fkgk)?gk?1?fk)
k?0n?1???(fkgk)??gk?1?fkk?0k?0n?1Q?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk???(fkgk)k?0n?1
?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)?L?(fngn?fn?1gn?1)?fngn?f0g0??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0k?0n?1n?1得证。 11．证明
??j?02n?12yj??yn??y0
n?1证明
??j?0n?1yj??(?yj?1??yj)
j?0 得证。
?(?y1??y0)?(?y2??y1)?L?(?yn??yn?1)??yn??y0
n?1n12．若f(x)?a0?a1x?L?an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,L,xn，
证明：
?j?1nxk?0,0?k?n?2;j???1 f?(xj)?n0,k?n?1证明：Qf(x)有个不同实根x1,x2,L,xn
n?1n且f(x)?a0?a1x?L?an?1x?anx
?f(x)?an(x?x1)(x?x2)L(x?xn)
令?n(x)?(x?x1)(x?x2)L(x?xn) 则
?j?1nnxkxkjj?? ??f(xj)j?1an?n(xj)编辑版word
?(x)?(x?x2)(x?x3)L(x?xn)?(x?x1)(x?x3)L(x?xn) 而?n ?L?(x?x1)(x?x2)L(x?xn?1)
?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn) ??n令g(x)?x,
kxkj g?x1,x2,L,xn????j?1?n(xj)nxkj则g?x1,x2,L,xn???
??(x)j?1njn又?n?j?1nxk1j?g?x1,x2,L,xn? f?(xj)an??j?1xk?0,0?k?n?2;j ???1f?(xj)?n0,k?n?1?得证。
13．证明n阶均差有下列性质：
（1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,L,xn??cf?x0,x1,L,xn?;
（2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F?x0,x1,L,xn??f?x0,x1,L,xn??g?x0,x1,L,xn?. 证明：
f(xj)（1）Qf?x1,x2,L,xn???
j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)nF(xj) F?x1,x2,L,xn???(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnncf(xj) ??
j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)nf(xj) ?c(?)
(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn ?cf?x0,x1,L,xn?
?得证。
(2)QF(x)?f(x)?g(x)
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F(xj) ?F?x0,L,xn???j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)nf(xj)?g(xj) ??
(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnnf(xj) ??)
j?0(xj?x0)L(xj?xj?1)(xj?xj?1)L(xj?xn)ng(xj) +?)
(x?x)L(x?x)(x?x)L(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn ?f?x0,L,xn??g?x0,L,xn?
?得证。
017018???14．f(x)?x?x?3x?1,求F?及2,2,L,2F2,2,L,2????。
74解：Qf(x)?x?x?3x?1
74i若xi?2,i?0,1,L,8
f(n)(?)则f?x0,x1,L,xn??
n!f(7)(?)7!?f?x0,x1,L,x7????1
7!7!f(8)(?)f?x0,x1,L,x8???0
8!15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)22 R3(x)?f(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!,??(xk,xk?1)
解：
若x?[xk,xk?1]，且插值多项式满足条件
?(xk)?f?(xk) H3(xk)?f(xk),H3?(xk?1)?f?(xk?1) H3(xk?1)?f(xk?1),H3插值余项为R(x)?f(x)?H3(x) 由插值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0
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