发布时间 : 星期六 文章信号与线性系统题解第九章更新完毕开始阅读
9.5 在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相
位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序
列x(n)是有限长的，h(n)是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且
h(n)是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且h(n)为实序列，则可
以通过以下两种方法实现对x(n)的零相位过滤。 （a）按以下三步进行，如图P9.5(a)所示。 （b）按以下三步进行，如图P9.5(b)所示。
分别对以上两种方法求出从输入x(n)到输出y(n)的整个系统的系统函数，单位脉冲响应，并证明该系统具有零相位特性。
(1) x(n) g(n) (1)x(n) g(n) h(n) h(n)
(2) g(?n) r(n) (2) x(?n) r(n) h(n) h(n)
(3) y(n)?r(?n) (3) y(n)?g(n)?r(?n)
(a) (b)
图P9.5
解：（a）由图P9.5(a）可知： G(?)?X(?)H(?)
又?g(?n)的傅立叶变换为G(??)
? r(n)的傅立叶变换为R(?)?G(??)H(?)?X(??)H(??)H(?) ? Y(?)?R(??)?X(?)H(?)H(??) 又?h(n)为实序列，则：
Y(?)?X(?)H(?)H(?)?X(?)H(?) 故系统函数为： H1(?)?H(?)
2*2 单位冲激响应为：h1(n)?h(n)*h(?n)，它具有零相位特性。
(b）由图P9.5(b）可知： G(?)?X(?)H(?) R(?)?X(??)H(?)
Y(?)?G(?)?R(??)?X(?)[H(?)?H(??)] 又?h(n)为实序列，则 H(??)?H(?)：
? H2(?)?H(?)?H(??)?H(?)?H(?)?2Re{H(?)} 这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为： H1(?)?H(?)
单位冲激响应为：h2(n)?h(n)?h(?n)。
9.6 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则
用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可
以用来近似地分离频谱重叠的信号。设x(t)是一个复合信号，x(t)?s(t)?w(t)。我们希望设计一个LTI滤波器，从x(t)中分离出s(t)，如图P9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应H(?)应使y(t)是对s(t)较好的近似。假定用?(?)作为y(t)与
2**s(t)之间误差的度量，定义为
?(?)?S(?)?Y(?)
其中S(?)和Y(?)分别是s(t)和y(t)的傅立叶变换。
（a） 用S(?)，H(?)和W(?)表示?(?)。其中W(?)?F[w(t)]。
（b） 限定H(?)为实函数，因此H(?)?H(?)。通过使?(?)对H(?)的导数为
零，确定使误差?(?)为最小的H(?)。
（c） 证明：如果S(?)和W(?)不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。 （d） 如果S(?)与W(?)如图P9.6(b）所示，根据（b）的结果，确定并概略画出
*2H(?)。
x(t)?s(t)?w(t) H(?) y(t)?s(t)
(a) 1
?
0 2 -2
W(?) 1 ? 0 1 -1 (b) 图P9.6
(a) 由图p9.6(a)可得：
Y(?)?X(?)H(?)?[S(?)?W(?)]H(?) 故有：
S(?)?Y(?)?S(?)?[S(?)?W(?)]H(?) ?(?)?S(?)?Y(?)222 S(?) ?S(?)?[S(?)?W(?)]H(?)
2*2（b）?(?)?S(?)?H(?)S(?)?W(?)?2Re{S(?)[S(?)?W(?)]}H(?) =S(?)?H(?)S(?)?W(?)?2H(?)[S(?)?Re{S(?)W(?)}] 令：
2222*??(?)?0得：
?H(?)22* 2H(?)S(?)?W(?)?2[S(?)?Re{S(?)W(?)}]?0 ?H(?)?S(?)?Re{S*(?)W(?)}S(?)?W(?)22
如果在某一个频率?0处有S(?0)?W(?0)?0，则此时X(?0)?0，从而有
Y(?0)?0。对此频率来说，H(?0)可以取任意值。
（c） 如果S(?)和W(?)不重叠，则S(?)W(?)?0。
设S(?)在区域A为非零，W(?)在区域B非零，则：
当??A时，S(?)?0,W(?)?0； 当??B时，S(?)?0,W(?)?0。 在此情况下，H(?)具有如下特性：
当S(?)?0,W(?)?0时，H(?)?S(?)S(?)22?1；
当S(?)?0,W(?)?0时，H(?)?0；
当S(?)?0,W(?)?0时，H(?)可为任意值，当然可以规定为H(?)?0。
由以上讨论可见，H(?)在S(?)与W(?)不重叠时，具有理想滤波器特性。 （d）根据图p9.6(b)和（b）的结果可得：
H(?) 1 11H(?)?{20?1???11???2 ??20.5
?
-2 -1 1 2 0
9.7 题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连
续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9.6（b ）中所得结果相对应的结果。
分别用S(?)，W(?)，H(?)，Y(?)和?(?)代替题9.6中的S(?)，W(?)，
H(?)，Y(?)和?(?)有：
Y(?)?X(?)H(?)?[S(?)?W(?)]H(?) S(?)?Y(?)?S(?)?[S(?)?W(?)]H(?)
?(?)?S(?)?[S(?)?W(?)]H(?)
假定H(?)为实函数，相应有：
2