发布时间 : 星期日 文章最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案更新完毕开始阅读
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA) 解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA) 416答案 D π 的点是( ) 4 B．(2,4) 11D．(，) 24 x＋Δx2－x2 解析 ∵y′＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x， Δx→0Δx→0Δxπ1?1?21?11?∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝??＝，所求点的坐标为?，?. 42?2?4?24? 4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) A．1 1 C．－ 2答案 A 解析 ∵y′|x＝1＝lim Δx→0 1 B． 2D．－1 a1＋ΔxΔx2 －a×12 ＝lim (2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1. Δx→05．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件lim Δx→0________． 答案 －4 f1－f1－x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是 2xf1－f1－x1 解析 由lim ＝－2，∴f′(1)＝－2，f′(1)＝－4. Δx→02x2 1 6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 2答案 3 1 解析 由在M点的切线方程y＝x＋2 2151 得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝. 22251 ∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 22 7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率 3 k＝y′|x＝1＝lim Δx→0 1＋Δx2 －4 1＋ΔxΔx＋2－3＋4－2 ＝lim (3Δx＋2)＝2. Δx→0 ∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0. 二、能力提升 8. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( ) A．2 C．4 答案 A B．3 D．5 解析 易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________. 答案 3 解析 设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0， ∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P＝1，即P＝3. π?? 10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为?0，?，则点P横坐标的取值范围为 4??________． 1?? 答案 ?－1，－? 2??解析 ∵f′(x)＝lim Δx→0＝lim Δx→0 2x＋2·Δx＋Δxx＋ΔxΔx2 2 ＋2x＋Δx＋3－ Δxx2＋2x＋3 ＝lim (Δx＋2x＋2)＝2x＋2. Δx→0 1 ∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的 21?? 取值范围为?－1，－?. 2?? 11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． ?y＝x＋4， 解 (1) 由? ?y＝x＋10， 2 2 ?x＝－2，得? ?y＝8， ?x＝3，或? ?y＝13， ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y＝x2＋4， ∴y′＝lim Δx→0＝lim Δx→0 Δxx＋Δx2 ＋4－ Δxx2＋4 ＋2x·Δx Δx＝lim (Δx＋2x)＝2x. Δx→0 ∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6， 即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0. 12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) 2＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax0－9x0－1) 23＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)， Δy2∴＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). ΔxΔy当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x20＋2ax0－9. Δx即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9 ∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－. 33 当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. 33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12. 3解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ aa2 aa2 a2 解 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， Δy∴切点为P(1,1)．∵f′(x0)＝lim ＝m Δx→0Δx＝lim Δx→0 3x0Δx＋3x0 2 x0＋Δ xΔ x3 －x30 ΔxΔx2 ＋Δx3 222 ＝lim[3x0＋3x0Δx＋(Δx)]＝3x0， Δx→0 ∴当x0＝1时，k＝f′(1)＝3. ∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. ?y＝3x－1(2)由?3 ?y＝x＋1 ，可得(x－1)(x2＋x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)． 说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有其他的公共点. 1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) [学习目标] 1 1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数． x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． [知识链接] 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？ Δy答 (1)计算，并化简； Δx(2)观察当Δx趋近于0时， Δy趋近于哪个定值； ΔxΔy(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数． Δx[预习导引] 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1) f′(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x f′(x)＝1(a>0，且a≠1) xln af′(x)＝ x1 要点一 利用导数定义求函数的导数 例1 用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数． 解 f′(x)＝lim Δx→0 2 013 x＋Δx2－2 013x2 x＋Δx－x2 2 013[x2＋2x·Δx＋Δx＝lim Δx→0Δx4 026x·Δx＋2 013＝lim Δx→0Δx＝lim (4 026x＋2 013Δx) Δx→0＝4 026x. Δx2 ]－2 013x2 规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数． 解 y′＝lim Δx→0＝lim Δx→0 x＋Δx2 ＋a2 x＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δxx2＋2x·Δx＋Δx＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx2 2x·Δx＋a·Δx＋ ＝lim Δx→0ΔxΔx ＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx→0 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数 π14 (1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝3；(4)y＝x3；(5)y＝log3x. 3x解 (1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； 313?3??4? x??(4)y′＝?3?′＝′＝x－＝； ?x?44?4?4 4x(5)y′＝(log3x)′＝ 1. xln 3 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 1?1?x跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝??；(3)y＝xx；(4)y＝logx. 3?2? 8 解 (1)y′＝8x7； 1?1??1? (2)y′＝??xln ＝－??xln 2； 2?2??2?331 (3)∵y＝xx＝x，∴y′＝x； 222(4) y′＝ 113＝－1. xln 3 xln 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程 ?π1? 例3 求过曲线y＝sin x上点P?，?且与过这点的切线垂直的直线方程． ?62?解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，