发布时间 : 星期三 文章(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性练习理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
g(2 019)＝f(2 019)＋f(－2 019)＝f(3)＋f(－3)＝f(－1)＋f(1)＝2f(1)＝π.
【答案】C
5．若f(x)＝ln(e＋1)＋kx是偶函数，则k＝________． 【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
x?1?∴ln?＋1?－k＝ln(e＋1)＋k， ?e?
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解得k＝－，经检验k＝－符合题意．
221
【答案】－
2
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋
f(2)，f(1)＝4，则f(3)＋f(10)的值为________．
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，
令x＝－2，可得f(2)＝f(－2)＋f(2)， 则f(－2)＝0，f(2)＝f(－2)＝0， ∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的函数， ∴f(10)＝f(6)＝f(2)＝0， ∵f(1)＝4，
∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝4， 则f(3)＋f(10)＝4＋0＝4. 【答案】4
7．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的不恒为零的函数，对于任意非零实数a，b满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且当x>1时，有f(x)>0.
(1)判断并证明y＝f(x)的奇偶性；
(2)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，并求不等式f(x－1)<0的解集． 【解析】(1)f(x)是偶函数． 证明：由已知得f(1)＝f(1)＋f(1)， ∴f(1)＝0，f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝0，f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
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(2)设x1>x2>0，则>1，∴f??>0.
x1x2
?x1??x2?
?x1??x1?所以f(x1)＝f?·x2?＝f??＋f(x2)>f(x2)，
?x2
?
?x2?
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 因为f(x－1)<0＝f(1)，又f(x)是偶函数， 所以有|x－1|<1，解得0＜x＜2. ∴不等式f(x－1)<0的解集为(0，2)． 8．已知函数f(x)＝x－2x.
2
?1?(1)当x∈?，3?时，求函数f(x)的值域； ?2?
(2)若定义在R上的奇函数g(x)对任意实数x，恒有g(x＋4)＝g(x)，且当x∈[0，2]时，g(x)＝f(x)，求g(1)＋g(2)＋…＋g(2 020)的值．
【解析】(1)由题意得f(x)＝x－2x＝(x－1)－1，
2
2
?1?∵x∈?，3?， ?2?
?1?∴f(x)在?，1?上单调递减，在[1，3]上单调递增． ?2?
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，且[f(x)]min＝－1. 3?1?又f??＝－，f(3)＝3， 4?2?∴[f(x)]max＝3.
∴函数f(x)的值域是[－1，3]．
(2)由g(x＋4)＝g(x)可得函数g(x)的周期T＝4，
∵g(1)＝f(1)＝－1，g(2)＝f(2)＝0，g(3)＝g(－1)＝－g(1)＝1，g(4)＝g(0)＝f(0)＝0，
∴g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，
∴g(1)＋g(2)＋…＋g(2 020)＝505[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＝0.
B组题
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称，若函数f(x)＝x(0 A. 22 B．1.5 C．－ D．－1.5 22 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 14 所以可得f(－x)＝－f(x)． 又因为它的图象关于直线x＝1对称， 所以可得f(x)＝f(2－x)． 由上面两式可得－f(－x)＝f(2－x)． 由此可递推得f(2－x)＝－f(－x)＝f(－2－x)． 所以函数f(x)周期为4. 所以f(－5.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)＝－f(2－1.5)＝－f(0.5)＝－【答案】C 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2x，若f(2－a)＞f(a)，则实数a的取值范围是________． 2 2 2. 2 【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a)＞f(a)， 得2－a＞a，解得－2＜a＜1. 【答案】(－2，1) 2 2 2 ?3??3?3．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f?x＋?＝－f(x)，且函数y＝f?x－?是奇?2??4? 函数，给出以下四个命题： ①函数f(x)是周期函数； ?3?②函数f(x)的图象关于点?－，0?对称； ?4? ③函数f(x)是偶函数； ④函数f(x)在R上是单调函数． 在述四个命题中，正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． ?3?【解析】对于①，∵f(x＋3)＝－f?x＋?＝f(x)， ?2? ∴函数f(x)是以3为周期的周期函数，故①正确； ?3?对于②，∵y＝f?x－?是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数f(x)的图象是由y?4? 15 3?3??3?＝f?x－?的图象向左平移个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点?－，0?对称，故4?4??4?②正确； 对于③，由②知，对于任意的x∈R，都有 ????f?－－x?＝－f?－＋x?， ? ? 3?3??3?用＋x换x，可得：f?－－x?＝－f(x)＝f?x＋?， 4?2??2? 3 令t＝＋x，则f(－t)＝f(t)，∴函数f(x)是偶函数，故③正确； 2对于④，由③知f(x)是偶函数，偶函数的图象关于y轴对称， ∴f(x)在R上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③. 【答案】①②③ 4．关于函数y＝f(x)(x∈D)有如下结论：若函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b成立． －2x＋1 (1)若函数f(x)＝的图象关于点(2，m)对称，根据题设中的结论求实数m的值； x－2(2)若函数y＝f(x)的图象既关于点(2，0)对称，又关于点(－2，1)对称，且当 3?43?4 x∈[2，6]时，f(x)＝2x＋3x，求f(－5)的值． 【解析】(1)f(x)＝ －2x＋1 的定义域为{x|x≠2}， x－2 对任意x(x≠2)，都有f(2＋x)＋f(2－x)＝2m， 即 －2(2＋x)＋1－2(2－x)＋1 ＋＝2m，解得m＝－2. 2＋x－22－x－2 (2)因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称， 所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 即f(x)＋f(4－x)＝0，① 又函数y＝f(x)的图象关于点(－2，1)对称， 所以f(－2＋x)＋f(－2－x)＝2， 即f(x)＋f(－4－x)＝2，② 由①②得，f(4－x)＝f(－4－x)－2， 即f(x)＝f(x＋8)＋2， 16