发布时间 : 星期三 文章(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性练习理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数； 因为|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数； 因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数； 因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数． 【答案】C
2x(3)已知函数f(x)＝x－x，则下列判断正确的是( )
2＋1
2
2
A．f(x)是偶函数不是奇函数 B．f(x)是奇函数不是偶函数 C．f(x)既是偶函数又是奇函数 D．f(x)既不是偶函数也不是奇函数 【解析】该函数的定义域为R，
2（－x）2x·22
f(－x)＝(－x)－－x＝x－x
2＋12＋1
2
2
2
x＝
x2（2x＋1）－2x2·2xx2－x2·2xx2（－1－2x＋2）
2＋1
2
2
x＝2＋1
x＝
2＋1
x
2x＝－x＋x＝－f(x)，
2＋1所以函数f(x)是奇函数，
f(1)＝1－＝，f(－1)＝1－＝－，
2133
232
13
所以函数f(x)不是偶函数． 【答案】B
【点评】判断函数的奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
5
考点2 函数的奇偶性的应用
例2(1)已知函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，若f(－2)＝2 018，则f(2)＝( )
A．－2 020 B．2 019 C．－2 018 D．2 017 【解析】函数f(x)＝asin x＋btan x－1(a，b∈R)，
则f(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)－1＝－asin x－btan x－1， 即有f(－x)＋f(x)＝－2， 又f(－2)＝2 018，
则f(2)＝－2－f(2)＝－2－2 018＝－2 020. 【答案】A
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有( )
?1??1??3?A．f?? ?4??4??2??1??1??3?B．f?－? 【解析】由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称， 由于函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数， 综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数． ?3??3??1?又f??＝f?2－?＝f??， ?2??2??2??1??1??1??3?所以f?－? 【答案】B (3)若函数f(x)＝8－ax－2x是偶函数，则该函数的定义域是________． 【解析】因为函数f(x)＝8－ax－2x是偶函数，则a＝0，函数f(x)＝8－2x的定义域满足8－2x≥0，解得－2≤x≤2，故函数的定义域为[－2，2]． 【答案】[－2，2] 6 2 2 2 2 (4)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是__________． 【解析】 2 由函数特点绘出函数的图象如图，可求得函数与y＝5的交点坐标为(－5，5)，(5，5)，要使f(x＋2)<5，则有－5 【答案】(－7，3) 【点评】已知函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； (2)求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出； (3)求解析式中的参数，利用待定系数法求解； (4)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象． 考点3 函数的周期性与对称性及应用 例3(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，且－3＜x≤3时，f(x)＝ln(x＋1＋x)，则f(2 020)＝( ) A．0 B．1 C．ln(5－2) D．ln(5＋2) 【解析】因为f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)， 所以f(x)＝f(2－x)，f(x)＝f(8－x)，∴f(2－x)＝f(8－x)， ∴T＝8－2＝6， 2f(2 020)＝f(－2)＝ln(5－2)． 【答案】C (2)已知函数f(x)与函数g(x)＝(x－1)的图象关于y轴对称，若存在a∈R，使x∈[1， 2 m](m>1)时，f(x＋a)≤4x成立，则m的最大值为( ) 7 A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】由于函数f(x)与函数g(x)＝(x－1)的图象关于y轴对称，因此f(x)＝(x＋1)，由f(x＋a)≤4x得(x＋a＋1)≤4x，把x＝1代入得－4≤a≤0.当a＝0时，(x＋1)≤4x，解得x＝1，当a＝－4时，(x－3)≤4x，解之得1≤x≤9，因此m的最大值为9. 【答案】C 2a－3 (3)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数 a＋1 2 2 2 2 2 a的取值范围是( ) A．－1 【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且以3为周期，所以f(5)＝f(2)＝f(2－3)2a－3 ＝f(－1)＝f(1)<1，即<1，解得－1 a＋1 【答案】A 【点评】(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T. (2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． (4)函数周期性的三个常用结论(a>0)： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a， ②若f(x＋a)＝ 1 ，则T＝2a， f（x） 1 ，则T＝2a. f（x） ③若f(x＋a)＝－ (5)函数对称性代数表示： 函数f(x)为奇函数?f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)(定义域关于原点对称)； 函数f(x)关于点(a，b)对称?f(x)＋f(－x＋2a)＝2b，函数f(x)关于直线x＝m对称?f(x)＝f(－x＋2m)． 8