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10?9?S?10a?d?30101?21?2 ，【解析】（1）方法一 设其首项为a1，公差为d，则?，解得a1?5?S?30a?30?29d?10301??2d??440?392140?394d?40???(?)??40． ，故S40?40a1?1525215方法二 易知数列S10,S20?S10,S30?S20,S40?S30成等差数列，设其公差为d， 803?210d?S30?10，即S10+d?，又S10?30，所以d??， 32380所以S40?S30?S10+3d?30?3?(?)??50，所以S40??50?S30??40． 3则前3项和为3S10??S10?100p?10q?30213方法三 设Sn?pn?qn，则?，解得p??,q?， 153S?900p?30q?10?3022213213n?n，所以S40???402??40??40． 153153SS 方法四 因为数列?an?是等差数列，所以数列{n}也是等差数列，点(n,n)在一条直线上，nnS30S10S40S10S10S30S40??)，(30,)，(40,)三点共线，于是3010即(10,4010， ?10304030?1040?10故Sn??将S10?30，S30?10代入解得S40??40． 20(a11?a30)?10(a1?a40)， 240(a1?a40)??40． 又S30?S10=?20，所以a1?a40??2，所以S40?2(m?n)(Sn?Sm)(10?30)(S30?S10)??40． 方法六 利用性质：Sm?n?，可得S40?n?m30?10方法五 因为S30?S10?a11?a12?L?a30?方法七 利用性质：当Sm?n，Sn?m(m?n)时，Sm?n??(m?n)． 由于S10?30，S30?10，可得S40??(30?10)??40． 【名师点睛】①通过一题多解可清晰地看到，虽然方法一是此类问题的通法，但是在解决等差数列问题时，运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用，达到了事半功倍的效果，极大地提高了解决问题的速度．②对于方法四，我们可以证明：等差数列，且SnS?pn?q?{n}是nnSkSS，2k，3k成等差数列，其实质是Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等差数列． k2k3k2③?an?为等差数列?Sn=pn?qn(p,q为常数). www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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Sa79?，则13?________；
S9a513An7n?15an（2）若数列?an?，的前n项和分别为，且，则A,Bb??______． ?n?nnBnn?3bn7n?4 【答案】（1）1 （2）n?1
【例4】（1）设Sn是等差数列?an?的前n项和，若
S1313a7139????1． 【解析】（1）由等差数列前n项和的性质得S99a5913（2）由等差数列前n项和的性质得anA2n?17(2n?1)?157n?4???. bnB2n?1(2n?1)?3n?1【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n项和的性质（2）求解；涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理． 4．与等差数列有关的前n项和的最值 设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，则
a1?0，d?0 Sn有最大值S1?a1，无最小值 a1?0，d?0 a1?0，d?0 ?an?只有前面的有限项为非负数，Sn有最大值，无最小值 ?an?只有前面的有限项为负数，Sn有最小值，无最大值 a1?0，d?0 Sn有最小值S1?a1，无最大值 d?0
数列?an?为常数列 【例5】已知等差数列?an?的前n项和为Sn，公差为d， （1）若S2016?0，S2017?0，且Sk最大，求k的值； （2）若a1=25，S9?S17，且Sk最大，求k的值.
【解析】（1）由等差数列的性质可知，S2017?2017a1009?0，所以a1009?0， 2016(a1008?a1009)?0，即a1008?a1009?0，结合a1009?0可得a1008?0， 2因此S1009最大，故k?1009. 又S2016??a1=25?a1=25（2）方法一 由?，可得?，解得d??2， S?S9a+9?4d?17a?17?8d17?11?9www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 26 -
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则Sn=25n?n(n?1)?(?2)??(n?13)2?169，显然S13最大，故k?13. 2方法二 同方法一得d??2，故an?25?(?2)(n?1)?27?2n， 显然对于n?N*，当n?13时，an?0；当n?14时，an?0.故S13最大，k?13. 方法三 由于Sn(设Sn=pn2?qn)是关于n的二次函数，点(n,Sn)是二次函数y?f(x)?px2?qx图象上一系列孤立的点，由S9?S17，可得f(9)?f(17)，f(x)的对称轴为x?9?17?13，易知图象开口向下，故f(13)最大，即S13最大，故k?13. 2d2dd1ad1an?(a1?)n?[n?(?1)]2?(?1)2，由二次函数的最2222d22d1a大值、最小值的知识及n?N*知，当n取最接近?1的正整数时，Sn取得最大（小）值.2d1a但应注意，最接近?1的正整数有1个或2个. 2d【名师点睛】由于Sn?5．数列求和问题
对于数列求和问题，有以下几种类型：
（1）求数列?|an|?的前n项和：求和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和.
【例6】已知等差数列?an?的前n项和Sn?n2?9n，求数列?|an|?的前n项和Tn.
2【解析】当n?1时，a1?S1?1?9?1??8；
当n?2时，an?Sn?Sn?1?(n?9n)?[(n?1)?9(n?1)]?2n?10， 且2?1?10??8?a1，所以an?2n?10(n?N)．
显然，当n?5时，an?0；当n?5时，a5?0；当n?5时，an?0． 故当n?5时，Tn?|a1|?|a2|?L?|an|??a1?a2?L?an??Sn?9n?n, 当
2*22n?5时，
Tn?|a1|?|a2|?L?|an|??a1?a2?a3?a4?a5?L?an?Sn?2S4?n2?9n?40．
2??9n?n,n?5. 综上，Tn??2??n?9n?40,n?5【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号，找准临界值n(n?N*)，分类
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讨论进行求解．
（2）倒序相加求前n项和
教材中等差数列的前n项和公式的推导采用的就是倒序相加法，此处不再赘述． （3）裂项相消求和
裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们在求和的过程中出现相同的项，且这些项能够相互抵消，从而将求n个数的和的问题转化为求几个数的和的问题．
【例7】已知数列?an?的通项公式为an?1，求其前n项和Sn．
n(n?1)【解析】因为an?111??， n(n?1)nn?1112311341n11n)?1??． n?1n?1n?1所以Sn?(?)+(?)?(?)+L+(?1112【名师点睛】在应用裂项相消法求和时应注意：（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项． 6．忽略等差数列中为0的项而出错
【例8】设等差数列?an?的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1?0，S11?S18，则当n为何值时Sn最大？
【错解】由S11?S18，得11a1+11?1018?17d?18a1?d，即a1=?14d，由a1?0可知22?a?a1?(n?1)d?0??14d?(n?1)d?0d?0，解不等式组?n,得14?n?15. ,即???14d?nd?0?an?1?a1?nd?0又n?N，故当n?15时Sn最大. 【错因分析】由于a15?0，所以S14?S15，当n?14或n?15时Sn最大，错解中忽略了数列中为0的项. 【正解1】由S11?S18，得11a1+*11?1018?17d?18a1?d，即a1=?14d， 22由a1?0可知d?0，解不等式组??an?a1?(n?1)d?0, ?an?1?a1?nd?0即???14d?(n?1)d?0,得14?n?15. ??14d?nd?0www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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