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1．数列的相关概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做_______），排在第二位的数称为这个数列的第2项??排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,L,an,L,简记为?an?． 2．数列的分类
（1）根据数列项数的多少分 有穷数列 无穷数列 项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6，L 是无穷数列 （2）根据数列项的大小分 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 各项_______的数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的通项公式
如果数列?an?的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_______．我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项． 4．数列表示方法的优缺点
通项公式法 列表法 _______法 递推公式法 优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 优点：能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势 优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 缺点：一些数列的通项公式表示比较困难 缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 缺点：数列项数较多时用图象表示比较困难 缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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5．递推公式的定义
如果已知数列?an?的第1项(或前几项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an?1 (或前n项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的_______．
注意：递推公式也是数列的一种表示方法．
K知识参考答案：
1．首项 2．有限 无限 相等 3．通项公式 4．图象 5．递推公式
K—重点 K—难点 K—易错 数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 对递推公式变形时注意n取值的变化 1．根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律．
【例1】根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）1，3，5，7，9，L；
（2）
246810，，，，，L； 315356399（3）0，2，0，2，0，2，L； （5）3，5，9，17，33，L．
（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，L；
【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为an＝2n?1； （2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方减去1，它的一个通项公式为an＝1234562n； 4n2?1（3）将数列变形为1?(?1),1?(?1),1?(?1),1?(?1),1?(?1),1?(?1),L, 易知它的一个通项公式为an＝1?(?1)； （4）将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，类似于（3）n1?(?1)n可得它的一个通项公式为an＝n＋； 2www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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，22?1，23?1，24?1，25?1，，L可得它的一个通项公式为an＝2?1． （5）将数列变形为21?1【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：①熟记一些特殊数列的通项公式，如an=n,an?2n?1,an?2n,an?n2等；②将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；③当数列各项的符号出现“+”“?”相间时，可用(?1)n或(?1)n?1来实现．
2．数列中项的判断与求解
（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． 【例2】已知数列?an?的通项公式an?(?1)n(2n?1),则 （1）a1?a2?______；（2）a1?a2?a3?L?a10?______． 【答案】（1）2 （2）10
【解析】（1）因为a1??1,a2?3,所以a1?a2?2．
（2）观察可知a1?a2?2,a3?a4?2,L,a9?a10?2, 故a1?a2?a3?L?a10?10．
【例3】已知数列?an?的通项公式是an=2n2?n，那么 A．30是数列?an?的一项 C．66是数列?an?的一项 【答案】C
【解析】注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，a7=91.故选C．
【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数）．
3．根据数列的递推公式求an
由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法.根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式；（2）迭代法、累加法或累乘法．
B．44是数列?an?的一项 D．90是数列?an?的一项
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【例4】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an． 【解析】由题可得a1?2，a2?4，a3?8，a4?16，a5?32. 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察，猜想an=2n． 【名师点睛】本题若是求an，则由a n+1=2an可得an=2a n－1，即an?2，依次向下写，一直an?1到第一项，然后将它们相乘，有anan?1an?2a－2n1=2n．这???L×2?2n?1，所以an=a1·an?1an?2an?3a1种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法．同时应注意：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 4．数列的单调性
数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列?an?中任意相邻两项an+1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法；（2）利用数列的单调性：数列?an?递增
?an+1?an，数列?an?递减?an+1?an．对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值
探路”的策略，并结合数列的单调性求解．
【例5】 已知数列?an?的通项公式为an?n2?n(n?N*), 判断数列?an?的单调性． 【解析】方法一 an?n2?n,an?1?(n?1)2?(n?1), 则an?1?an?(n?1)2?(n?1)?(n2?n)? 2n?2?0,即an+1?an(n?N*)，故数列?an?是递增数列． an?1(n?1)2?(n?1)n?2方法二 an?n?n,an?1?(n?1)?(n?1),则???1, ann2?nn22又an?0，故an+1?an，即数列?an?是递增数列． 方法三 令y?x?x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x??21?1，则函数2??)上单调递增，故数列?an?是递增数列． y?x2?x在[1，【名师点睛】方法三借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性就行求解，更加简捷． www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 4 -