发布时间 : 星期一 文章高等数学-微分方程证明题更新完毕开始阅读
所以x??105(100?t)2是初始值问题的解。 14、
由于y?C1cosx?C2sinx
y????C1cosx?C2sinx
（8分） 故在(??,??)上有y???y?0 （10分）
15、
对隐函数两边关于x求导得 2
e?12ydydx?1?0 （7分）
即
dy1y2dx?e2?0 （10分）
16、
dydx??Amsinmx?Bmcosmx
d2ydx2??m2[Acosmx?Bsinmx]??m2y 故 d2ydx2?m2y?0
17、
dy1当x?0,dx??xe?2x2?xy （7分）
y?1x22x??2?ex??2?1e （9分）
故y?e?1x22为初始值问题的解。 （10分）
18、
隐函数两边求微分得
ydx?xdyy2?1ydy?0 整理得：
ydx?(y?x)dy?0
（10分）
（8分）
（10分）
故知
x?lny?C是方程通解。 y （5分）
此外
x?lnyyx?0y?e2?2
x?lny?2。 y所以过点(0,e)的积分曲线为19、
对隐函数两边微分得
2（10分）
3x2dx?6xy2dx?6x2ydy?4y3dy?0
（4分）
整理得
(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0
（8分） （10分）
且隐函数含有任意常数，故为方程的通解。 20、
y(x)??(x?1)?ex y???1?ex?x?y
（4分） （8分）
y(0)?0
故y为初始值问题的解。
21、 将y?（10分）
C21dy代入方程左端得：x??Cx
22Cdx2代入方程的右端得
yC2x2?1C2x2?1?y??1?????
??xx2Cx2Cx （6分）
当Cx?0时，两端恒等；当Cx?0时，两端不恒等；所以当C?0时，函数为方程在(0,??)上
的解；而当C?0时，则为(??,0)上的解。（10分）
22、
证：由题设du1?M(x,y)dx?N(x,y)dy
du2?M(x,y)dx?N(x,y)dy
（4分） （8分）
则 d(u1?u2)?0
u1?u2?C
u1?u2?C
（10分）
23、
证：因y(x),y1(x),y2(x)都是微分方程的解 即
?y?(x)?p(x)y(x)?q(x)??(x)?p(x)y1(x)?q(x)?y1?y?(x)?p(x)y(x)?q(x)2?2(1)(2)
(3)(1)?(2):y?(x)?y1?(x)?p(x)[y(x)?y1(x)]?0
(3)?(2):y2?(x)?y1?(x)?p(x)[y2(x)?y1(x)]?0则
y(x)?y1(x)?C1e??p(x)dxy2(x)?y1(x)?C2e??p(x)dx
故
y(x)?y1(x)?C
y2(x)?y1(x) （10分）
另证：y2(x)?y1(x)适合(y2?y1)??(y2?y1)p(x)?0，即它是齐次方程y??p(x)?0的解
故原方程的通解为
（4分）
y(x)?y1?C(y2?y1) y(x)?y1(x)?C
y2(x)?y1(x)
（8分）
即 24、
（10分）
证明：（1）如果y?z(x)e?x0
xa(t)dt是方程的解，则有
y??a(x)?b(x)
z?(x)e?x0a(t)dtx?z(x)e?x0a(t)dtxa(x)?a(x)z(x)e?x0a(t)dtx?b(x)
整理得：
z??b(x)ex??x0a(t)dt ，则
（5分）
（2）如果z??b(x)ex??x0a(t)dt
z(x)??b(x)e??x0a(t)dtdxy?z(x)e?x0a(t)dtxx??b(x)ex??x0a(t)dtdx?e?x0a(t)dtx
求导得：y??a(x)y?b(x) 说明y?z(x)e?x025、
证明：因为y2?y1z是方程的解，故有
xa(t)dt是方程的解。 （10分）
(y1??py1)z?z?y1?q(x)
又因为y1是方程的解，所以y1??p(x)y1?q(x)，上式化为
q(x)z?z?y1?q(x)
（6分）
这是一个变量可分离微分方程：y1所以：
dz?q(x)(1?z) dxq(x)dx?C1 y1
（10分）
dz?q(x)?dx?1?zy1ln(?1?z)???所以 26、
z?Ce??q(x)dxy1?1
dU?kCekt?0 dtkt（1） （2分）
由U?Ce?20?0解得
Cekt?(U?20)
（7分）
将代入式（1）得
dU?k(U?20) dt （10分）
27、
一般，u(x,y)是积分因子的充要条件是
N??M?N??u?u?M?u??? ?x?y?y?x??若u(x,y)?u(x?y)，记z?x?y，则u(x?y)?u(z)
?udu?zdu?udu????? ?xdz?xdz?ydz （4分）