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第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一、知识梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A 振幅 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 初相 ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) φ－ ω0 0 πφ－ 2ωωπ 2A π－φ ωπ 0 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
φ
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个
ω单位长度．
π
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝
2kπ(k∈Z)确定其横坐标．
二、教材衍化
1π?
1．函数y＝2sin??2x－3?的振幅、频率和初相分别为( ) π
A．2，4π，
31π
C．2，，－
4π3
1π
B．2，，
4π3π
D．2，4π，－
3
1ω1π
解析：选C．由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
T2π4π3
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．
解析：根据函数图象变换法则可得． 1
答案：y＝sinx
2
3．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________． 2π解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，
ωπππ
x＋φ?＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin?＋φ?＋6，结合表所以ω＝，所以y＝sin??2??2?2ππ?πππ
x－＋6＝6－cos x. 中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin??22?222
π
答案：y＝6－cos x
2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函21
数解析式为y＝sin x.( )
2
ππ
2x－?的图象．( ) (2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin?3??3(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距T
离为.( )
2
π
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．( )
2答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区
| (1)搞不清ω的值对图象变换的影响；
(2)确定不了函数解析式中φ的值．
π
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达
12式为f(x)＝________．
π
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为
12
?x＋π??＝2sin?2x＋π?. f(x)＝2sin ?26???12???
π
2x＋? 答案：2sin?6??
π
ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图所示，则f(x)＝________．2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)? 2??
解析：设f(x)的最小正周期为T， Tπ
根据题图可知，＝，
22所以T＝π，故ω＝2，
ππ
2×＋φ?＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z， 根据2sin??12?6π
即φ＝2kπ－，k∈Z，
6ππ又|φ|＜，故φ＝－.
26π
2x－?. 所以f(x)＝2sin?6??π2x－? 答案：2sin?6??
考点一 五点法作图及图象变换(基础型)
复习指导
| 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．
核心素养：直观想象
已知函数f(x)＝3sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期； (2)画出f(x)在[0，π]上的图象． 【解】 (1)f(x)＝3sin 2x＋2cos2x＋a ＝3sin 2x＋cos 2x＋1＋a
π
2x＋?＋1＋a的最大值为2， ＝2sin?6??2π
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
2π
2x＋?，列表： (2)由(1)知f(x)＝2sin?6??x π2x＋ 6π2x＋? f(x)＝2sin?6??画图如下： 0 π 61 π 6π 22 5π 12π 0 2π 33π 2－2 11π 122π 0 π 13π 61
【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
π
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，
4ππ
再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，
126ππ
2x＋?的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到． 函数y＝2sin?6??6