发布时间 : 星期日 文章李庆扬数值分析第五版与习题答案更新完毕开始阅读
11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。 6??123??111??12?，B??221?，C??2515?。 A??241??????????467???331???61546??LU分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。 即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。 解： 因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。 因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。 因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。 12、设 ?0.60.5?， A????0.10.3?计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数0.6+0.5=1.1 列范数0.5+0.3=0.8 2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。 ATA的最大特征值为0.3690 所以2-范数为0.6074 F-范数0.8426 13、求证： （a）x??x1?nx?； AF（b）1n?A2?AF。 根据定义求证。 x??maxxi?x1??xi?nmaxxi?nx?。 1?i?ni?11?i?nn14、设P?Rn?n且非奇异，又设x为R上一向量范数，定义xnp?Px。试证明xp是Rn上向量的一种范数。 根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 显然xx1?x2p?Px?0，cxp?Pcx?cPx?cxp、 pp?P(x1?x2)?Px1?Px2?Px1?Px2?x1?x2p，从而xp是Rn上向量的一种范数。 15、设A?Rn?n为对称正定，定义 xA?(Ax,x)， 是R上向量的一种范数。 An12试证明x根据向量范数的定义来证明： 要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。 显然xT?(Ax,x)?xAx?0A12， 16、设A为非奇异矩阵，求证1A?1??miny?0Ayy??。 因为A?1?maxx?0A?1xx?maxx?0A?1xAAx?1?max?1yAyy?Ax?0?y?01minAyy， 所以得证 ?2???217、矩阵第一行乘以一数，成为A??，证明当时，cond(A)?有最小值。 ????311??本题考查条件数的计算 首先计算A的逆阵 ?2|3?|?22???A???3，取得最小值为2 ?|3?||3?|?2，当A?1?1|?|?2，当?|?|取值越大，则最小值为2 从而cond(A)??A?1又当??2时， 3?A??(1??2)?max?3?,2?， cond(A)??(3?2)?max?3?,2??(?2)?2?7。 ?21当??2时， 31cond(A)??(??2)?max?3?,2??(1??2)?3??3?6??7。 综上所述，cond(A)??7时最小，这时??18、设A??22，即???。 33(v?2,?) ?10099?，计算A的条件数cond(A)v??9998??10099???9899??1由A??可知，，从而 A?????9998??99?100???9899???9899??19405?19602?(A)(A)????99?100????1960219801?， 99?100???????1T?1由?I?(A?1)T(A?1)???1940519602??2?39206??1?0， 19602??19801?10099??10099??1980119602?AA????9998???1960219405?， 9998??????T由?I?ATA???19801?19602??2?39206??1?0， ?19602??194052可得A2?A?1?19603?384277608，从而 cond(A)2?A?1A?1?2A2?19603?384277608?39206。 ??199，A??199，从而cond(A)??A?1A??199?199?39601。 19、证明：如果A是正交矩阵，则cond(A)2?1 若A是正交阵，则A?1?AT，从而ATA?I，(A?1)TA?1?AA?1?I，故A2?A?12?1，cond(A)2?A?1n?n2A2?1。 20、设A,B?R ，且?为Rn?n上矩阵的算子范数，证明： 21、设Ax?b，其中A为非奇异矩阵，证明： （1）ATA为对称正定矩阵； T2（2）cond(AA)?(cond(A)2) x(ATA)x?(Ax)TAx?b2?0，所以ATA为对称正定矩阵。 T为对称正定矩阵，所以ATA?AAT AA由于cond(ATA)2?ATA2(ATA)?12?max((ATA)T(ATA))??min((ATA)(ATA)T)?max((AAT)T(ATA))??min((AAT)(ATA)T)?max(ATAATA)则??min(AATAAT)?max(ATA)2??min(AAT)2?max(ATA)??min(AAT)?(cond(A)2)2 第7章
复习与思考题 1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？ P213，若f(x)?C[a,b] 且f(a)f(b)?0，根据连续函数性质可知f(x)?0在[a,b]内至少有一个实根，这时称[a,b]为f(x)?0的有根区间。 2.什么是二分法？用二分法求f(x)?0 的根，f要满足什么条件？ P213 一般地，对于函数f(x)?0如果存在实数c,当x=c时，若f(c)?0,那么把x=c叫做函数f(x)?0的零点。解方程即要求f(x)?0的所有零点。 假定f(x)?0在区间（x，y）上连续， 先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)f(b)?0，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求