发布时间 : 星期六 文章湖南省张家界市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析更新完毕开始阅读
在x??,1?时，f?(x)?0，函数f(x)单调递减， 可知函数f(x)的极小值为f(1)?ln1?1?3??2，
?1??2?1135?1?f?ln????ln2?. 极大值为??2424?2?（2）f?x1??f?x2??mmm?x2?x1?可以变形为f?x1??f?x2???，
x1x2x2x1可得f?x1??mm?f?x2??， x1x2可知函数f(x)?m在?1,10?上单调递减 xmmh(x)?f(x)??lnx?x2?3x?，
xx1mh?(x)??2x?3?2?0，
xx可得m??2x3?3x2?x， 设F(x)??2x?3x?x，
321?1?F?(x)??6x?6x?1??6?x????0，
2?2?22可知函数F(x)在?1,10?单调递减，
F(x)min?F(10)??2?103?3?102?10??1710，
可知m??1710，
可知参数m的取值范围为???,?1710?. 【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
19．设等差数列?an?的首项为0，公差为a，a?N?；等差数列?bn?的首项为0，公差为b，b?N?.由数列?an?和?bn?构造数表M，与数表M?；
记数表M中位于第i行第j列的元素为cij，其中cij?ai?bj，（i，j=1，2，3，…）.
?记数表M?中位于第i行第j列的元素为dij，其中dij?ai?bj?1（1?i?b，i?N?，j?N）.如：
c1,2?a1?b2，d1,2?a1?b3.
（1）设a?5，b?9，请计算c2,6，c396,6，d2,6；
（2）设a?6，b?7，试求cij，dij的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M?；
（3）设a?6，b?7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值. 【答案】（1）50,2020,?49（2）详见解析（3）29 【解析】 【分析】
（1）将a?5，b?9代入，可求出an，bn，可代入求ci,j，di,j，可求结果． （2）可求ci,j，di,j，通过反证法证明，
（3）可推出t?M，t?M*，t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出． 【详解】
（1）由题意知等差数列{an}的通项公式为：an?5n?5； 等差数列{bn}的通项公式为：bn?9n?9， 得ci,j?ai?bj?(5i?5)?(9i?9)?5i?9j?14， 则c2,6?50，c396,6?2020，
得di,j?ai?bj?1?(5i?5)?[9(j?1)?9]?5i?9j?5， 故d2,6??49．
（2）证明：已知a?6．b?7，由题意知等差数列{an}的通项公式为：an?6n?6； 等差数列{bn}的通项公式为：bn?7n?7，
得ci,j?ai?bj?(6i?6)?(7i?7)?6i?7j?13，(i?N*，j?N*)．
i7，i?N*，j?N*)． 得di,j?ai?bj?1?(6i?6)?[7(j?1)?7]?6i?7j?6，1剟所以若t?M，则存在u?N，v?N，使t?6u?7v， 若t?M*，则存在u?N，u?6，v?N*，使t?6u?7v，
因此，对于正整数t，考虑集合M0?{x|x?t?6u，u?N，u?6}， 即{t，t?6，t?12，t?18，t?24，t?30，t?36}． 下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，
2，3，4，5，6，
又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为t?6u1，t?u2，其中u1，u2?N，u1?u2?6．则这两个元素的差为7的倍数，即(t?u2)?(t?6u1)?6(u1?u2)，
所以u1?u2?0，与u1?u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t?6u0，u0?6，u0?N， 则存在s?Z，使t?6u0?7s，u0?N，u0?6，即t?6u0?7s，u0?N，s?Z，
由已证可知，若t?M，则存在u?N，v?N，使t?6u?7v，而t?M，所以S为负整数， 设V??s，则v?N*，且t?6u0?7v，u0?N，u0?6，v?N*， 所以，当a?6，b?7时，对于整数t，若t?M，则t?M*成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数t，t?M*，则t?M，假设命题不成立，即t?M*，且t?M． 则对于整数t，存在n?N，m?N，u?N，u?6，v?N*，使t?6u?7v?6n?7m成立， 整理，得6(u?n)?7(m?v)， 又因为m?N，v?N*，
7所以u?n?(m?v)?0且u?n是7的倍数，
6因为u?N，u?6，所以u?n?6，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t，若t?M*，则t?M， 又由第二问，对于整数t?M，则t?M*， 所以t的最大值，就是集合M*中元素的最大值， 又因为t?6u?7v，u?N，v?N*，u?6， 所以tmax?(M*)max?6?6?7?1?29． 【点睛】
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题． 20．已知函数f(x)?lnx?x?ax(a?R). （1）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数f(x)的极值点为x0，当a变化时，点(x0,f(x0))构成曲线M，证明：过原点的任意直线y?kx与曲线M有且仅有一个公共点. 【答案】（1）a?1；（2）证明见解析 【解析】
2【分析】
（1）由f(x)?0恒成立，可得a?x?lnxlnx恒成立，进而构造函数g(x)?x?，求导可判断出g(x)xx的单调性，进而可求出g(x)的最小值g(x)min，令a?g(x)min即可；
?2x2?ax?12（2）由f?(x)?，可知存在唯一的x0?(0,??)，使得f?(x0)?0，则?2x0?ax0?1?0，
xa?2x0?122，进而可得f(x0)?lnx0?x0?1，即曲线M的方程为y?lnx?x?1，进而只需证明对x02任意k?R，方程lnx?x2?1?kx有唯一解，然后构造函数F(x)?lnx?x?kx?1，分k?0、
0?k?22和k?22三种情况，分别证明函数F(x)在(0,??)上有唯一的零点，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意，可知x?0，由f(x)?0恒成立，可得a?x?lnx恒成立. xlnxx2?1?lnx. 令g(x)?x?，则g?(x)?2xx令h(x)?x?1?lnx，则h?(x)?2x?21， xQx>0，?h?(x)?0，
?h(x)?x2?1?lnx在(0,??)上单调递增，又h(1)?0， ?x?(0,1)时，h(x)?0；x?(1,??)时，h(x)?0，
即x?(0,1)时，g?(x)?0；x?(1,??)时，g?(x)?0，
?x?(0,1)时，g(x)单调递减；x?(1,??)时，g(x)单调递增，
?x?1时，g(x)取最小值g(1)?1，
?a?1.
1?2x2?ax?12（2）证明：由f?(x)??2x?a?，令T(x)??2x?ax?1，
xx由T(0)?1?0，结合二次函数性质可知，存在唯一的x0?(0,??)，使得f?(x0)?0，故f(x)存在唯一的极值点x0，则?2x?ax0?1?0，a?2x0?201， x0?f(x0)?lnx0?x02?ax0?lnx0?x02?1， ?曲线M的方程为y?lnx?x2?1.