发布时间 : 星期五 文章2002年北京市海淀区中考数学试卷分析更新完毕开始阅读
23．（9分）（2002?海淀区）（1）求证：关于x的方程（n﹣1）x十mx+1=0①有两个相等的实数根．
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关于y的方程my﹣2my﹣m﹣2n+3=0②必有两个不相等的实数根；
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（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式mn十12n的值． 【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式． 【分析】（1）①有两个相等的实数根，即方程的判别式△=0，即可得到关于m，n的一个等式，求证②必有两个不相等的实数根，即证明根的判别式△＞0．
（2）把（1）中根据①有两个相等的实数根，即方程的判别式△=0，得到的关于m，n的一个等式，变形为用含m的代数式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根据若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，即可求解．
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【解答】（1）证明：由方程①得n﹣1≠0，m﹣4×（n﹣1）=0．
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∴m=4（n﹣1）且m≠0，则n﹣1＞0．
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方程②中△=4m﹣4m（﹣m﹣2n+3）=4m（1+m+2n﹣3）=8m（n+3）（n﹣1）． ∵n﹣1＞0．
∴△＞0．方程②必有两个不相等的实数根．
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（2）解：由m=4（n﹣1），得n﹣1=
x+mx+1=0，解得x=﹣． 把代入第二个方程，得
m×（）﹣2m×﹣m﹣2n+3=0．
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．代入第一个方程，得
整理得2n+4n=7．
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∴mn十12n=n（m+12） =n（4n﹣4+12）
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=4n+8n
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=2（2n+4n） =14． 24．（9分）（2002?海淀区）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点． （1）求证：CD与⊙O相切于点E； （2）若CE?DE=
，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．
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【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可． （2）欲求圆的直径，必须求出半径OA或OB或OE，可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑，借助于比例线段来求解．∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵AE平分∠BAF， ∴∠OAE=∠EAD． ∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE． ∴∠OEA=∠EAD． ∴OE∥AD．
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上， ∴CD与⊙O相切于点E．
（2）解：连接BE， ∵AB为直径，
∴RT△BAE∽RT△EAD．
∴①
∵CD与⊙O相切于点E， ∴∠CEB=∠OAE． ∵∠C为公共角， ∴△CBE∽△CEA． ∴
②
由①②得
，
∴DE?EC=AD?CB． ∵CE?DE=∴
．
，AD=3，
由（1）知OE∥AD ∴
．
设OE=x（x＞0），
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则CO=∴
．
，CA=，
∴x=﹣1（舍去）或x=∴⊙O直径为
．
．
∴CA=CB+BA=5．
由切割线定理知CE=CB?CA=∴∴
∴tan∠AED=
．
． ．
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，
25．（12分）（2002?海淀区）已知：二次函数y=x﹣kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数， （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标； （2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合．设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令y=0，不难得出方程的△＞0；关键是方程的整数根，整除和奇偶性问题．根据（k﹣2+m）（k﹣2﹣m）=20得出k﹣2+m是k﹣2﹣m是同奇、同偶的两数是解题的关键． （由于k﹣2+m+k﹣2﹣m=2k﹣4，因此两数的和为偶数，而偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，因此两数必须为同奇同偶） （本题也可用韦达定理来求） （2）由于四边形PBCD不一定是规则的四边形，因此可用三角形OBC的面积﹣三角形ODP的面积来求．
（3）本题答案不唯一，只要正确都行． 【解答】解：（1）依题意可设A（a，0），B（b，0）；
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令y=0，则a、b是x﹣kx+k+4=0的两根．
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于是△=（﹣k）﹣4（k+4）=k﹣4k﹣16=（k﹣2）﹣20＞0，且a+b=k； ∵a、b是不等的正整数，
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∴k为正整数，且（k﹣2）﹣20是一个整数的平方．
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设（k﹣2）﹣m=20， 即（k﹣2+m）（k﹣2﹣m）=20，
注意到k﹣2+m是k﹣2﹣m是同奇、同偶的两数，且20是偶数． ∴
；
，
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；，
解得：；；；，
∴k=8，
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∴这个二次函数的解析式为y=x﹣8x+12，其顶点坐标为（4，﹣4）．
（2）∵y=x﹣8x+12，
∴此二次函数的图形与y轴的交点C的坐标为（0，12），与y轴的交点A（2，0），B（6，0）． 又S四边形PBCD=S△COB﹣S△DOP， ∴S=×12×6﹣×6t，
∴S=36﹣3t（2≤t＜6）；
（3）∵AB=4，又S=30，
∴可设所画三角形为△MAB，AB边上的高为h． ∴S△MAB=×4×h， ∴h=15．
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参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；CJX；心若在；137-hui；zhangCF；zzz；zhjh；蓝月梦；王岑；算术；lanyan；开心；mmll852；lanchong；HLing；lf2-9；郝老师；fuaisu；MMCH；xiu；Liuzhx；ln_86；bjy（排名不分先后） 菁优网
2016年9月29日
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