发布时间 : 星期六 文章高考大一轮总复习2.6对数与对数函数更新完毕开始阅读
§2.6 对数与对数函数
考纲展示? 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
考点1 对数的运算
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．
答案：x＝logaN a N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____________； ②logM
aN＝____________；
③logaMn＝________(n∈R)； ④logMn＝n
ammlogaM.
(2)对数的性质：
①alogaN＝________；②logaaN＝________(a>0且a≠1)．
1
(3)对数的重要公式：
①换底公式：loglogbN＝aN
logab(a，b均大于0且不等于1)；
②log1
ab＝log，推广logbaab·logbc·logcd＝________.
答案：(1)①logaM＋logaN ②logaM－logaN ③nlogaM (2)①N ②N (3)②logad
(1)[教材习题改编]lg5＋lg20的值是( )
A.12 B．1 C．10 D．100
答案：B
(2)[教材习题改编](log29)·(log34)＝( ) A.14 B．12
C．2 D．4 答案：D
(3)[教材习题改编]已知log＝m，求lg 3lg 4
53＝a，log54＝b，lg 2a＋b的值(用m表示)．解：lg 3lg 4a＋b＝lg 3lg 3＋lg 4
lg 4
＝2lg 5
lg 5lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m)．
误用对数运算法则．
(1)log39134－log34＋??3??－1
＝________.
(2)(log29)·(log34)＝________.
答案：(1)2 (2)4
39?11
÷＋3＝log3＋3＝－1＋3＝2. 解析：(1)原式＝log3??44?3lg 9lg 4
(2)解法一：原式＝·
lg 2lg 32lg 3·2lg 2＝＝4.
lg 2·lg 3
log24解法二：原式＝2log23· log23＝2×2＝4.
log23＝3×2 ＝33. (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
1?x???，x≥4，2??(3)已知函数f(x)＝?则f(2＋log23)的值为________．
??f?x＋1?，x<4，
[答案]
1
24
11
[典题1] (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
abA.10 C．20 [答案] A
1111
[解析] 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10
ablog2mlog5m＝2.解得m＝10. (2)计算：log2
2
＝________； 2
B．10 D．100
[解析] 因为2＋log23＜4， 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而3＋log23＞4，
1?3log31?1? log3
＋所以f(3＋log23)＝??2?2＝8×?2?2 111
＝×＝. 8324
[点石成金] 对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考点2 对数函数的图象及应用
2log23＋log43＝________；
(lg 2)＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 1
[答案] － 33 2
2[解析] log21＝－；
2
2log23＋log43＝2 log23·2 log43＝3×2 log43
2
2
21
＝log22－log22＝－1 22
对数函数的图象 y＝logax a>1 0 解析：由>0得x>3或x<－2， x＋2 x－3 所以函数f(x)＝lg的定义域为{x|x>3或x<－2}； x＋2 ?x＋2>0，?由? 得x>3，所以函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是{x|x>3}．可以看出f(x)?x－3>0? 与g(x)不是同一函数． 图象 (2)[2014·天津卷]函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 答案：(－∞，0) 解析：函数f(x)＝lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)． (1)[教材习题改编]函数y＝log2(x＋1)的单调递增区间是________． 答案：(－1，＋∞) 解析：由x＋1>0得x>－1，且函数y＝log2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)． (2)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过的点是________． 答案：(2,2) 解析：因为对数函数y＝logax的图象恒过点(1,0)，所以函数y＝loga(x－1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2的图象恒过点(2,2)． [典题2] (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) 对数函数常见两误区：概念；性质． (1)函数f(x)＝lg________． 答案：{x|x>3或x<－2} {x|x>3} x－3 的定义域是________，函数g(x)＝lg(x－3)－lg(x＋2)的定义域是x＋2 A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 [答案] D [解析] 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1. 3 又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1. (2)当0＜x≤1 2时，4x＜logax，则a的取值范围是( ) A.?2? 0， 2?? B．?2?2，1? ? C．(1，2) D．(2，2) [答案] B [解析] 由题意，得 当0＜a＜1时，要使得4x＜logax?? 0 2时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方． 1又当x＝1 2时，42 ＝2，即函数y＝4x的图象过点?1?2，2??. 把点?1?2，2??代入函数y＝logx，得a＝2 a2 . 若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需 2 2 ＜a＜1(如图所示)． 当a＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a的取值范围是? 2?2，1? ? . [题点发散1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2 解：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2 当0 要使当x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2， 又即loga2≥1， 所以1 [题点发散2] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2 解：不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出图象可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，则 应满足???loga4>?4－1?2 ，??log a 5≤?5－1?2 ， 4