发布时间 : 星期一 文章浙江省杭州市高级中学贡院校区2018-2019学年上学期高2019届高三年级期中考试数学试题更新完毕开始阅读
2x 22.已知函数f?x??xe?lnx.
2x (1)若关于x的方程f?x??xe?ax在?1,3?内有两个不同的实数根,求实数a的取值范围;
(2)求证:当x?0时,f?x??1.
1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. B 7. C 8. C 9. D 10. C
11. 2 0.8
12. x∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞) 13. x- y+1=0 14. 7 21 15 16.4 17.
18(Ⅰ)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=2 2 4,故a=2,
设椭圆的半焦距为c,由已知PF2⊥PF1,因此2c=|F1F2| 2 ,即c ,从而b 1, 故所求椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)连接F1Q,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a﹣2|PF1|,
又由PQ⊥PF1,|PF1|=|PQ|,知|QF1| |PF1|=4a﹣2|PF1|,解得|PF1|=2(2 )a,从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2( 1)a,
由PF2⊥PF1,知2c=|F1F2| ,因此
e
.
19(1)函数
.
所以当 (k∈Z)时,即{x| }(k∈Z)时,函数的最大值为 . (2)由于 , ,所以 , ,所以 ,
所以 ,利用同角三角函数的恒等式,解得 ,
所以
.
20(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
所以△ACD为正三角形,所以AC=AD,又因为点N为CD中点,所以CD⊥AN. ∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA.PA∩AN=A,∴CD⊥平面PAN.
(2)由(Ⅰ)知,CD⊥平面PAN,CD?平面PCD,∴平面PAN⊥平面PCD,且平面PAN∩平面PCD=PN,
过A作AH⊥PN于H,则AH⊥平面PCD,连接CH,则∠ACH为直线AC与平面PCD所成角.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=1, ,AC=1,AN
,AH
在RT△PAN中PN
,
直线AC与平面PCD所成角的正弦值:
.
21(1)由8Sn=an+4an+3,
可得a1=S1 (a1+4a1+3),解得a1=1(3?(0,2)), 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1 (an+4an+3) (an﹣1+4an﹣1+3), 化为(an﹣an﹣1)(an+an﹣1)=4(an+an﹣1), 由an>0,则an﹣an﹣1=4,
可得{an}为首项为1,公差为4的等差数列, 则an=1+4(n﹣1)=4n﹣3,n∈N*; (2)对任意m∈N,4 4n﹣3 4, 则 4
m﹣1
*2
2
2
2
m2m n 4
2m﹣1
,
而n∈N*,由题意可知bm=4
3
5
2m﹣1
﹣4
m﹣1
,
2
则前m项和Sm=(4+4+4+…+4
2m﹣1
)﹣(1+4+4+…+4
m﹣1
)
.
22(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由直线OA,AB,OB的斜率依次构成等比数列, 得
,
联立
2
2
,可得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,
故△=(2akm)﹣4(b+ak)(am﹣ab)>0, 即b﹣m+ak>0, 又x1+x2 ,x1x2 则
2
2
22
2222222
,
2
,
即km(x1+x2)+m=0, 即
,
又直线不经过原点,∴m≠0, ∴b=ak,即b=ak;
(2)若e ,则a=2c,b c, ,
2
22
又k>0,得k 则x1+x2
,
,x1x2
m﹣2c,
22
|AB| ?
?
,
化简得
.