发布时间 : 星期五 文章2014-2015学年山东省潍坊一中高二(下)4月月考数学试卷(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读
18．某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 鱼池产量（kg） 300 500 概 率 0.5 0.5
鱼的市场价格（元/（kg） 60 100 概 率 0.4 0.6
（Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，则X所有可能的取值为40000，20000，8000，进而可得其分布列和期望；
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=40000）+P（X=20000），进而可得答案． 解答： 解：（Ⅰ）因为利润=产量×市场价格﹣成本， 所以X所有可能的取值为500×100﹣10000=40000， 500×60﹣10000=20000300×100﹣10000=20000， 300×60﹣10000=8000…（2分） P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，
P（X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5 P（X=8000）=0.5×0.4=0.2…（4分） 所以X的分布列为 X 40000 20000 8000 P 0.3 0.5 0.2
则E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600…（6分）
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3）， 由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，
P（Ci）=P（X=40000）+P（X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）…（8分） 3季的利润均不少于20000元的概率为
，
3季中有2季利润不少于20000元的概率为
，
所以3季中至少有2季的利润不少于 20000元的概率为0.512+0.384=0.896…（12分） 点评： 本题考查的知识点是离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列，难度不大，属于中档题．
19．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：X=
22
P（x＞k）0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635
考点： 独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式． 专题： 应用题；概率与统计．
分析： （Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，X=
2
≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有况，
∴至多有1人喜欢甜品的概率
．
=10种情况，有2名喜欢甜品，有
=3种情
点评： 本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得
，
，
，
．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，
线性回归方程也可写为
．
考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得得b值，进而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判； （Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可． 解答： 解：（Ⅰ）由题意可知n=10，=
=
=8，=
=
=2，
，
，代入可
故lxx==720﹣10×8=80，lxy=
2
=184﹣10×8×2=24，
故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）． 点评： 本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．
21．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0． （Ⅰ）求p0的值；
2
（参考数据：若X～N（μ，σ），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
考点： 简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计． 分析： （I）变量服从正态分布N（800，50），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．
（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
解答： 解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，50），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
2
2
2
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y． 依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0． 由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）． 由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距
最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆． 点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．