精讲精练:全等三角形证明判定方法分类总结-培优 联系客服

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初一数学·全等三角形

全等三角形(四)

强化训练 1、如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上

的点,

(1)若AD?BE?CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论; (2)若△DEF是等边三角形,问AD?BE?CF成立吗?试证明你的结论.

A 4、已知:如图,△ABC中,?ABC?45°,CD?AB于D,BE平分?ABC,且BE?AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.

A 1(1)求证:BF?AC;(2)求证:CE?BF;

2

D F E F

D B E C

2、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证:2∠M=(∠ACB-∠B)

A12 EP

F

BDCM

3、△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE⊥DF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由.

C ED AFB

G

B H C

5、 如图,点O是等边△ABC内一点,?AOB?110?,?BOC??.将△BOC绕点C按顺时针 A 方向旋转60?得△ADC,连接OD. (1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当??150?时,试判断△AOD的形状,并说明理由; D (3)探究:当?为多少度时,△AOD是等腰三角形?

110? O

B ? C 13

初一数学·全等三角形

7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC,10、已知:如图,点D在△ABC的边CA的延长线上,点E在BA的延长线上,CF、

且DB与AC所在直线交于E,求证:CD=CE。

ADM E过A作AF⊥BC于F,过D作DG⊥BC于G,则DG=AF=1/2BC=1/2BD, BC在Rt△BDG中,DG=1/2BD => ∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°,即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE

8、Rt△ABC,AB=AC,BM是中线,AD⊥BM交BC于D,求证:∠AMB=∠CMD。

A

M B

DC

9、如图,已知△ABC是等边三角形,∠BDC=120o,说明AD=BD+CD的理由。

EF分别是∠ACB、∠AED的平分线,且∠B=30°,∠D=40°,求∠F的度数。

11、等边三角形ABC和等边三角形DEC,D在AC边上。延长BD交CE延长线于N,延长AE交BC延长线于M。求证:CM=CN N易证△BCD≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC

A再证△BCN≌△ACM (ASA)

∴ CM=CN

DEBCM14

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12、操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,14、(涉及相似三角形)若P为△ABC所在平面上一点,且以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.

13、如图等边△ABC和等边△CDE,点P为射线BC一动点,角APK=60°,PK交直线CD于K。

(1) 试探索AP、PK之间的数量关系;

ADKBPCE

(2) 当点P运动到BC延长线上时,上题结论是否依然成立?为什么。

AK

D BCPE

?APB??BPC??CPA?120°,则点P叫做△ABC的费马点. 如图,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′。

求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA?PB?PC.

A

B?

B C

15、如图,?ABC是等腰直角三角形,∠C=900

,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM, 点E在射线NA上,且NE=2NA.求证:BD⊥DE.

E

AD

MBNC15

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第五章 全等三角形 拓展延伸

分析:三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等来说明两个角相等(两条边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

例1:已知AE既是∠BAC的平分线,也是∠BDC的平分线,试说明AB=AC

B思路:AB在△ABD中,AC在△ACD中,E要说明AB=AC,尝试说明△ABD与△ACD全等。

DA1. 观察图形发现两个三角形存在公共C边AD

2. 题目所给条件可以得到两组角相等,

3. 再根据三个条件的位置,利用ASA,可得三角形全等 4. 再利用全等三角形的对应边相等,得到AB=AC

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例2:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的直线,BD⊥AE,CE⊥AE,如果CE=5,BD=11,请你求出DE的长度。 思路:抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析,对它们的位置进行分析,发现AB、AC分别位于一个Rt△中,所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt△全等。

那么:已经存在了两组等量关系:AB=AC,直角=直角.可以求证△ABD≌△ACE。 A

D BEC

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练习1. 小明说:“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗?为什么? 分析:如图,题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? 说你的理由。

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系。

_______=_______

M∴我们只需要说明 ________≌________ MD C解:

C A ED NAB AE BE BNDC

图1

图2 F

练习2. 在△ABC中,∠ACB= 900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,△ADC≌△CEB,且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗?

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, DE =AD-BE。说

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MCEADBN图3