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习 题
1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r?R(cosωti?sinωtj)
其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由r?R(cosωti?sinωtj)知 x?Rcosωt y?Rsinωt
消去t可得轨道方程 x2?y2?R2
2） v?drdt??ωRsinωti?ωRcosωtj
12 v?[(?ωRsinωt)2?(ωRcosωt)2]?ωR
1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，
t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时
刻的速度。
解：1）由r?4t2i?(3?2t)j可知
x?4t y?3?2t
2 消去t得轨道方程为：x?(y?3) 2）v?Δr?drdt102
?8ti?2j
?vdt??10(8ti?2j)dt?4i?2
3） v(0)?2j v(1)?8i?2j
1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）v? a?drdtdvdt?2ti?2j ?2i
2
2）v?[(2t)?4]212?2(t?1)212 at?dvdt?2tt?12
an?a2?at2?2t?12 1-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
y1?v0t?12at （1） 12gt （2）
22图 1-4
y2?h?v0t? y1?y2 （3）
解之 t?2dg?a 1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的
drdtdvdt速度v0水平抛出，求：
，，
dvdt.
解：（1） x?v0t 式（1）
y?h?12gt 式（2）
12gt)j
22 r(t)?v0ti?(h-（2）联立式（1）、式（2）得 y?h?gx2v2
20 （3）
drdt?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?drdt22hg
所以
v?2?v0i-22ghj
2dvdt??gj
vx?vy?v0?(?gt)
g2ghg2tdv ??12dt[v2?(gt)2]12(v0?2gh)201-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明
人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得 图 1-6
x2x2?x1?h1h2 而 x1?v0t
所以，人影中头的运动方程为 x2?h1x1h1?h2?h1th1?h2v0
人影中头的速度 v2?dx2dt?h1h1?h2v0
1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解：v?dxdt?4?4t 若v?0 解的 t?1s
?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
2 ?x3?x3?x1?(2?4?3?2?3)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度
h?20cm，斜面对水平的倾角??30?，问它
第二次球碰斜角)。
图 1-8
碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射
一
解：小球落地时速度为v0?点为坐标原点如图
2gh建立直角坐标系，以小球第一次落地
0 vx0?v0cos60 x?v0cos60t?01212gcos60t （1） gsin60t （2）
0202 vy0?v0sin60 y?v0sin60t?第二次落地时 y?0 t?2v0g00
所以 x?v0cos60t?012gcos60t02?2v0g2?0.8m
1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为
29.80m/s.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g?R?2
3.4?10R?2 现在赤道上物体???
????9.83.4?10?2?17
1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度v?v0cos?，顶点处切向加速度为0。
v2因此有：g???(v0cos?)2? ??2v0cos?gv0222
在落地点速度为v0 gcos??v0? ??gcos?
1-11. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?x12gt
20联立方程解得：x?447m ??arctan?77.5
h1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为 ?i?(v0sin??gt)j vA?v0cos?-gt)j vB?v0cos?i?(v0sin