发布时间 : 星期一 文章2020版高考数学大一轮复习-第5节椭圆(第2课时)直线与椭圆讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
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又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
25
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
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y2x2
10.(2019·上海静安区模拟)已知A，B分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)在x轴正半轴、yab221
轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝7.
7(1)求椭圆C的离心率；
12222
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x＋y＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求
7
k的值.
解 (1)由题设知，A(b，0)，B(0，a)，直线AB的方程为＋＝1，又|AB|＝a＋b＝7，
xyba22
ab221
＝，a>b>0， 22
7a＋b计算得出a＝2，b＝3，则椭圆C的离心率为e＝
?＋＝1，2
(2)由(1)知椭圆方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则?43消去y得，(3k43
??y＝kx＋my2x2
＋4)x＋6kmx＋3m－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0， 即48(3k－m＋4)>0，
6km3m－12
且x1＋x2＝－2，x1x2＝2.
3k＋43k＋4又直线l与圆x＋y＝2相切， 则
|m|
22
2
2
2
2
2
2
b21
1－2＝.
a2
22?yx＝2，即m＝2(k＋1). k＋1
2
2
22
而|MN|＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 1＋k·48（3k－m＋4）＝ 2
3k＋4
1＋k·48（k＋2）43·k＋3k＋2＝＝， 22
3k＋43k＋412243·k＋3k＋2122
又|MN|＝，所以＝， 273k＋47
即5k－3k－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
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4
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
x2y2
11.(2019·北京东城区调研)已知圆M：(x－2)＋y＝1经过椭圆C：＋＝1(m>3)的一个
m3
2
2
焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( ) A.210－5 C.410－11
B.210－4 D.410－10
解析 易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝12.（x－2）＋y＝1，??22
2
当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去.所以m＝4.联立?xy得x－16x＋＝1，??43＋24＝0.又x≤2，所以x＝8－210.故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A
2
2
x2y2
12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－22＝0与椭圆C：2＋2＝
ab1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( ) 1A. 2
B.3 2
C.1
D.2
cb??x＋2y－22＝0，222222
解析 联立方程可得?x2y2消去x，化简得(a＋2b)y－8by＋b(8－a)＝0，
2＋2＝1，??ab由Δ＝0得2b＋a－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，所以
22
c2c22c2bF′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝2＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，
aac＋b2a2
2
在Rt△F′EF中，|F′E|＋|EF|＝|F′F|，化简得2b＝a，代入2b＋a－8＝0得b＝2，
22222222
a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案 C
1
2
x2y222
13.已知直线l：y＝kx＋2过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x＋yab＝4截得的弦长为L，若L≥
45
，则椭圆离心率e的取值范围是________. 5
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
452
设圆心到直线l的距离为d，则L＝24－d≥，
5
14
162142
解得d≤.又因为d＝，所以≤， 22
51＋k51＋k12
解得k≥.
4
c2c214252
于是e＝2＝22＝. 2，所以0＜e≤，又由0 ab＋c1＋k55 2 ?25? 答案 ?0，? 5?? x2y23 14.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝. ab2 (1)求椭圆C的方程； 1 (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值. 2 c2a2－b2322 解 (1)因为e＝2＝2＝，所以a＝4b. aa4 2 x2y2 又椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点P(2，1)， ab4122 所以2＋2＝1.所以a＝8，b＝2. ab故所求椭圆方程为＋＝1. 82 1 y＝x＋m，??21 (2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x，y)，B(x，y)，联立?消去y整理得x2xy??8＋2＝1 1 1 2 2 2 2 x2y2 2 ＋2mx＋2m－4＝0. 所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m－4. 又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m－8m＋16>0，解得|m|<2. 则|AB|＝122 1＋×（x1＋x2）－4x1x2＝5（4－m）. 4 |m|＝11＋4 2|m| . 5 2 2 2 2 2 2 点P到直线l的距离d＝ 112|m|m＋4－m222所以S△PAB＝d|AB|＝××5（4－m）＝m（4－m）≤＝2. 2225当且仅当m＝2，即m＝±2时，△PAB的面积取得最大值为2. 新高考创新预测 2 x2y211 15.(思维创新)椭圆2＋2＝1(a>b>0)，直线l1：y＝－x，直线l2：y＝x，P为椭圆上任意 ab22 一点，过P作PM∥l1且与直线l2交于点M，作PN∥l2且与l1交于点N，若|PM|＋|PN|为定值，则椭圆的离心率为________. 15 2 2 1?1???22 解析 设|PM|＋|PN|＝t，M?x1，x1?，N?x2，－x2?，P(x，y).因为四边形PMON为平行四 2?2???边形， 5222222 所以|PM|＋|PN|＝|ON|＋|OM|＝(x1＋x2)＝t. 411?→→→? 因为OP＝OM＋ON＝?x1＋x2，x1－x2?， 22?? x＝x1＋x2，??8x2y22222 所以?1则x＋4y＝2(x1＋x2)＝t，此方程为椭圆方程，即＋＝1，则椭圆1 58t2ty＝x1－x2，?22?55 8t2t－553 ＝. 8t25 的离心率e＝ 答案 3 2 16