发布时间 : 星期一 文章2020版高考数学大一轮复习-第5节椭圆(第2课时)直线与椭圆讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
y＝2x，??12
直线l1的斜率为，联立方程得?1消去x得y－2ty－1＝0.
tx＝ty＋，?2?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.
所以|AB|＝t＋1|y1－y2|＝t＋1（y1＋y2）－4y1y2＝t＋14t＋4＝2t＋2， 12?21?同理得，用替换t可得|DE|＝2＋2，所以|AB|＋|DE|＝2?t＋2?＋4≥4＋4＝8，当且仅当
2
2
2
2
2
2
2
tt?t?
t2＝2，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
t1
?1?法二 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F?，0?，不妨设l1的斜率为k，则?2?
l1：y＝k?x－?，l2：y＝－?x－?.
k?2??2?
2
?y＝2x，
?
1?1?1?
?k2222由??x－1?，消去y得kx－(k＋2)x＋4＝0，
y＝k?2?????
2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋2.
k由抛物线的定义知，
22
|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋2＋1＝2＋2.
kk12222
同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k，所以|AB|＋|DE|＝2＋2＋2＋2k＝4＋2
kkk222
＋2k≥4＋4＝8，当且仅当2＝2k，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.
k答案 8
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
x2y2
1.(基础题供选用)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
m3
A.(1，＋∞) C.(3，＋∞)
B.(1，3)∪(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
y＝x＋2，??22
2
解析 由?xy得(m＋3)x＋4mx＋m＝0.
＋＝1，??m3
由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.
9
答案 B
2.设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂
43足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( ) 3A.±
2
2B.± 3
1C.±
2
D.±2
x2y2
解析 由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，
B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同
3理可得当k<0时k＝－.
2答案 A
3.(2019·长春二检)椭圆4x＋9y＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( ) 2A.－
3
3B.－ 2
4C.－
9
9D.－
4
2
2
2
323232
解析 设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x1＋9y1＝144，4x2＋9y2＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋
2
2
2
y1－y22
x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.
x1－x23
答案 A
x2y2
4.(2019·青岛调研)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线
ab交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( ) A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立
y＝kx＋a，??22
22223422
消去y整理得(b＋ak)x＋2kax＋a－ab＝0， ?xy2＋2＝1，??ab由Δ＝(2ka)－4(b＋ak)(a－ab)＝0，
32
2
22
4
22
a2?cc?得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A?－，0?，
aa?c?
→→
又F(c，0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°. 答案 B
5.斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4
x2
2
10
A.2
45B. 5
C.
410
5
D.
810
5
5222
解析 设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y＝1，消去y得x＋2tx＋t－1＝0，由题意
448t4（t－1）
知Δ＝(2t)－5(t－1)>0即t<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
55
2
2
2
2
x2
4241022|AB|＝（1＋1）[（x1＋x2）－4x1x2]＝5－t≤(当且仅当t＝0时取等号).
55答案 C 二、填空题
y2x2
6.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭
ab圆方程为________________________.
y2x2
解析 因为椭圆2＋2＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦
ab2by2
点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x＝1.
a4答案
2
2
y2
4
＋x＝1
2
x2y2
7.(2019·河南八校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线lab交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________.
|PQ|a解析 不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP⊥PQ，
22|OP|13a??a所以在Rt△POA中，cos ∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P?，?，代入椭圆方
|OA|2?44?13a252222
程得＋. 2＝1，故a＝5b＝5(a－c)，所以椭圆C的离心率e＝
1616b5答案
25
5
2
2
2
8.已知椭圆的方程是x＋2y－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________. 解析 由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b， 则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，
??x＋2y－4＝0，
联立方程组?
?y＝kx＋（1－k），?
2
2
则有(1＋2k)x＋(4k－4k)x＋(2k－4k－2)＝0，
2222
x1＋x214k2－4k所以＝·2＝1，
221＋2k 11
13
解得k＝－(满足Δ>0)，故b＝，
2213
所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.
22答案 x＋2y－3＝0 三、解答题
9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为
3. 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
x2y2
(1)解 设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0).
aba＝2，??222
由题意得?c3解得c＝3.所以b＝a－c＝1.
＝，??a2
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n). 由题设知m≠±2，且n≠0. 直线AM的斜率kAM＝
x2
2
nm＋2
，
故直线DE的斜率kDE＝－
m＋2
. nm＋2
(x－m). n所以直线DE的方程为y＝－
直线BN的方程为y＝(x－2).
2－mnm＋2y＝－（x－m），??n联立?
n??y＝2－m（x－2），n（4－m2）解得点E的纵坐标yE＝－22. 4－m＋n由点M在椭圆C上，得4－m＝4n， 4
所以yE＝－n.
5
2
2
12