发布时间 : 星期六 文章2015年广东省高考数学试卷理科(高考真题)更新完毕开始阅读
【分析】（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值； （2）若与的夹角为
，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．
【解答】解：（1）若⊥， 则?=（即
sinx=
，﹣cosx
）?（sinx，cosx）=
sinx﹣
cosx=0，
sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵||=﹣
）?（sinx，cosx）=
， =，
sinx﹣
，||=cosx，
=1，?=（
，
∴若与的夹角为则?=||?||cos即
sinx﹣
cosx=， ）=， ）．
，
）．
则sin（x﹣∵x∈（0，∴x﹣则x﹣即x=
+
∈（﹣==
．
【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图： 工人编号 1 2
40 44 年龄
工人编号 10 11
36 31 年龄
工人编号 19 20
27 43 年龄
工人编号 28 29
34 39 年龄
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3 4 5 6 7 8 9
40 41 33 40 45 42 43
12 13 14 15 16 17 18
38 39 43 45 39 38 36
21 22 23 24 25 26 27
41 37 34 42 37 44 42
30 31 32 33 34 35 36
43 38 42 53 37 49 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；
（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2； （3）求出样本和方差即可得到结论．
【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，
∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9）， 其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40． 由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=（3）∵s2=
．∴s=
∈（3，4），
．
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数， 即40，40，41，…，39，共23人．
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为
≈63.89%．
【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．
18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
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PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值． 【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点， ∴PE⊥CD，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PCD， ∴PE⊥平面ABCD， 又∵FG?平面ABCD， ∴PE⊥FG；
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD， 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E， ∴AD⊥平面PDC，
又∵PD?平面PDC，∴AD⊥PD，
又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角， 在Rt△PDE中，由勾股定理可得： PE=∴tan∠PDC=
==
；
=，
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（3）解：连结AC，则AC=在Rt△ADP中，AP=∵AF=2FB，CG=2GB， ∴FG∥AC，
=
=3， =5，
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC， 在△PAC中，由余弦定理得 cos∠PAC===
．
【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a． （1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤
﹣1．
【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．
（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点． （3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂． 【解答】解：（1）f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2， ∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．
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