发布时间 : 星期日 文章全国统一高考数学试卷及参考答案(理科)(全国新课标III)更新完毕开始阅读
cosβ=当|sinθ|=
=
与夹角为60°时， 即α=
=
=
， |cosθ|=，
，
=|cosθ|，
∵cos2θ+sin2θ=1， ∴cosβ=∵β∈[0，
]， ∴β=
， 此时与的夹角为60°，
∴②正确， ①错误． 故答案为：②③．
【点评】本题考查命题真假的判断， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想， 是中档题．
三、解答题：共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。
17．（12分）（2020?新课标Ⅲ）△ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c， 已知sinA+（1）求c；
（2）设D为BC边上一点， 且AD⊥AC， 求△ABD的面积．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A， 再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC， 求出AD的长， 再求出△ABC和△ADC的面积， 即可求出△ABD的面积． 【解答】解：（1）∵sinA+
cosA=0，
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cosA=0， a=2， b=2．
∴tanA=，
∵0＜A＜π， ∴A=
，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣）， 即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4， （2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2∴cosC=∴sinC=∴tanC=
， ，
×2×cosC，
在Rt△ACD中， tanC=∴AD=
，
，
∴S△ACD=AC?AD=×2×=，
=2
，
∵S△ABC=AB?AC?sin∠BAD=×4×2×∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2
﹣
=
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式， 以及解三角形的问题， 属于中档题
18．（12分）（2020?新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶， 每天进货量相同， 进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元， 未售出的酸奶降价处理， 以每瓶2元的
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价格当天全部处理完．根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25， 需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20， 25）， 需求量为300瓶；如果最高气温低于20， 需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表：
最高气温 [10， 15） [15， 20） [20， 25） [25， 30） [30， 35） [35， 40） 天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）， 当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时， Y的数学期望达到最大值？
【分析】（1）由题意知X的可能取值为200， 300， 500， 分别求出相应的概率， 由此能求出X的分布列．
（2）当n≤200时， Y=n（6﹣4）=2n≤400， EY≤400；当200＜n≤300时， EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时， n=300时， （EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时， EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时， EY最大值为520元．
【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200， 300， 500， P（X=200）=P（X=300）=P（X=500）=∴X的分布列为：
X P
200 0.2
300 0.4
500 0.4
=0.2， ， =0.4，
（2）当n≤200时， Y=n（6﹣4）=2n≤400， EY≤400， 当200＜n≤300时，
若x=200， 则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n， 若x≥300， 则Y=n（6﹣4）=2n，
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∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160， ∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时， 若x=200， 则Y=800﹣2n，
若x=300， 则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n， ∴当n=300时， （EY）max=640﹣0.4×300=520， 若x=500， 则Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
当n≥500时， Y=，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n， ∴EY≤1440﹣2×500=440．
综上， 当n=300时， EY最大值为520元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法， 考查数学期望的最大值的求法， 考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查分类与整合思想、化归与转化思想， 是中档题．
19．（12分）（2020?新课标Ⅲ）如图， 四面体ABCD中， △ABC是正三角形， △ACD是直角三角形， ∠ABD=∠CBD， AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E， 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， 求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【分析】（1）如图所示， 取AC的中点O， 连接BO， OD．△ABC是等边三角形， 可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD， AD=CD．△ACD是直
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