发布时间 : 星期日 文章全国统一高考数学试卷及参考答案(理科)(全国新课标III)更新完毕开始阅读
则A（0， 0）， B（1， 0）， D（0， 2）， C（1， 2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2， CD=1， ∴BD=
=
∴BC?CD=BD?r， ∴r=
，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（∵∴（∴
=λ
+μ
，
sinθ﹣2）=λ（1， 0）+μ（0， 2）=（λ， 2μ）， sinθ+2=2μ，
sinθ+2=sin（θ+φ）+2， 其中tanφ=2， cosθ+1，
sinθ+2），
cosθ+1， cosθ+1=λ，
cosθ+
∴λ+μ=
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3， 故选：A
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质， 关键是设点P的坐标， 考查了学生的运算能力和转化能力， 属于中档题．
二、填空题:本题共4小题， 每小题5分， 共20分。
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13．（5分）（2020?新课标Ⅲ）若x， y满足约束条件， 则z=3x﹣4y
的最小值为 ﹣1 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域， 利用目标函数的几何意义， 求目标函数z=3x﹣4y的最小值．
【解答】解：由z=3x﹣4y， 得y=x﹣， 作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=x﹣， 由平移可知当直线y=x﹣，
经过点B（1， 1）时， 直线y=x﹣的截距最大， 此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查线性规划的应用， 利用目标函数的几何意义， 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14．（5分）（2020?新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1， a1﹣a3=﹣3， 则a4= ﹣8 ．
【分析】设等比数列{an}的公比为q， 由a1+a2=﹣1， a1﹣a3=﹣3， 可得：a1（1+q）=﹣1， a1（1﹣q2）=﹣3， 解出即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵a1+a2=﹣1， a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1， a1（1﹣q2）=﹣3， 解得a1=1， q=﹣2．
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则a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
15．（5分）（2020?新课标Ⅲ）设函数f（x）=﹣）＞1的x的取值范围是 x＞﹣ ．
【分析】根据分段函数的表达式， 分别讨论x的取值范围， 进行求解即可． 【解答】解：若x≤0， 则x﹣≤﹣，
则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1， 即2x＞﹣， 则x＞此时
＜x≤0，
，
， 则满足f（x）+f（x
当x＞0时， f（x）=2x＞1， x﹣＞﹣，
当x﹣＞0即x＞时， 满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 当0≥x﹣＞﹣， 即≥x＞0时， f（x﹣）=x﹣+1=x+此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 综上x＞
，
，
故答案为：x＞
【点评】本题主要考查不等式的求解， 结合分段函数的不等式， 利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．
16．（5分）（2020?新课标Ⅲ）a， b为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a， b都垂直， 斜边AB以直线AC为旋转轴旋转， 有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时， AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时， AB与b成60°角；
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③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号）
【分析】由题意知， a、b、AC三条直线两两相互垂直， 构建如图所示的边长为1的正方体， |AC|=1， |AB|=
， 斜边AB以直线AC为旋转轴， 则A点
保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心， 1为半径的圆， 以C坐标原点， 以CD为x轴， CB为y轴， CA为z轴， 建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出结果．
【解答】解：由题意知， a、b、AC三条直线两两相互垂直， 画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|=1， |AB|=
，
斜边AB以直线AC为旋转轴， 则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心， 1为半径的圆，
以C坐标原点， 以CD为x轴， CB为y轴， CA为z轴， 建立空间直角坐标系，
则D（1， 0， 0）， A（0， 0， 1）， 直线a的方向单位向量=（0， 1， 0）， ||=1，
直线b的方向单位向量=（1， 0， 0）， ||=1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ， sinθ， 0）， 其中θ为B′C与CD的夹角， θ∈[0， 2π）， ∴AB′在运动过程中的向量， 设
与所成夹角为α∈[0，
=（﹣cosθ， ﹣sinθ， 1）， |]，
=
，
]， ∴③正确， ④错误．
]，
|sinθ|∈[0，
]，
|=
，
则cosα=∴α∈[设
与所成夹角为β∈[0，
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