发布时间 : 星期一 文章(浙江专用)高考数学二轮复习专题七数学思想方法(选用)第1讲函数与方程思想、数形结合思想学案更新完毕开始阅读
A.?0，
??2?? 2?
B.?
?2?
，1? ?2?
C．(1，2) D．(2，2)
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解． 1xx∵0＜x≤，∴1＜4≤2，∴logax＞4＞1，
2∴0＜a＜1，排除答案C，D；
11111
取a＝，x＝，则有4＝2，log＝1，
22222显然4＜logax不成立，排除答案A；故选B. 答案 B 二、填空题
6．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．
xx2y2
解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，
ab由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将
x2y2c22
点M(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a＝b，∴e＝＝
aba答案
2
a2＋b2
＝2. a2
7．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________．
解析 |b－(xe1＋ye2)|＝b＋xe1＋ye2－2xb·e1－2yb·e2＋2xye1·e2＝4＋x＋y－2x－2y＝(x－1)＋(y－1)＋2≥2，
当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2，此时|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2. 答案
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
8．设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________． 解析 设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线l的方程代入抛物线方程y＝4x并整理得y－4ty－4m＝0，
9
2
2
则Δ＝16t＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t＋2m，则线段AB的中点M(2t＋m，2t)．
由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0)． 当t≠0时，有kMC·kAB＝－1， 即
2t－012
·＝－1，整理得m＝3－2t， 2
2t＋m－5t2
2
2
22
把m＝3－2t代入Δ＝16t＋16m＞0， 可得3－t＞0，即0＜t＜3.
由于圆心C到直线AB的距离等于半径， 即d＝
|5－m|1＋t22
2
＝2＋2t22
1＋t＝21＋t＝r，
2所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条． 当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4. 答案 (2，4) 三、解答题
9．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值． 解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，
??a1＋d＝1，?解得a1＝3，d＝－2. ?a1＋4d＝－5，?
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋n（n－1）
d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.
2
所以n＝2时，Sn取到最大值4.
10．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为→→
轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围．
2
，直线l与y2
y2x2222
解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c＝a－b，由题意，知2b＝2，
abc2＝， a2
10
所以a＝1，b＝c＝2. 2
2
故椭圆C的方程为y＋＝1，即y＋2x＝1.
121
(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；
2当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＝kx＋m，222由?2得(k＋2)x＋2kmx＋m－1＝0， 2
?2x＋y＝1，?
x2
22
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)
＝4(k－2m＋2)＞0，(*) －2kmm－1x1＋x2＝2，x1x2＝2.
k＋2k＋2→→
因为AP＝3 PB，所以－x1＝3x2.
??x1＋x2＝－2x2，2
所以?所以3(x1＋x2)＋4x1x2＝0. 2
?x1x2＝－3x2.?
2
2
2
?－2km?＋4·m－1＝0. 所以3·?2?k2＋2?k＋2?
整理得4km＋2m－k－2＝0， 即k(4m－1)＋(2m－2)＝0.
112－2m22
当m＝时，上式不成立；当m≠时，k＝2. 444m－1
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
由(*)式，得k＞2m－2， 2－2m又k≠0，所以k＝2＞0.
4m－1
2
2
22
11
解得－1＜m＜－或＜m＜1.
22
1??1??综上，所求m的取值范围为?－1，－?∪?，1?. 2??2??
11．设函数f(x)＝ax－3ax，g(x)＝bx－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行． (1)求b的值；
??f（x），x≤0，2
(2)若函数F(x)＝?且方程F(x)＝a有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
?g（x），x＞0，?
3
2
解 函数g(x)＝bx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
11
2
(1)f′(x)＝3ax－3a1
2
f′(1)＝0，
g′(x)＝2bx－g′(1)＝2b－1，
x1
依题意得2b－1＝0，所以b＝.
21
(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，
x
即g(x)在(0，1)上单调递减，
x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
x1
所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；
2当a＝0时，方程F(x)＝a不可能有四个解；
当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a不可能有四个解． 当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，x∈(－1，0)时，f′(x)＜0， 即f(x)在(－1，0)上单调递减，
2
2
1
所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a. 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，
1222
从图(2)看出，若方程F(x)＝a有四个解，则＜a＜2a，得＜a＜2，所以，实数a的取
22值范围是?
?2?
，2?. ?2?
12