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高等代数习题库
第一章 行列式
1. 决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性. (1) 134782695 (2) 217986354 (3) 987654321
2. 如果排列x1x2?xn?1xn的反序数为k，排列xnxn?1?x2x1的反序数是多少? 3. 写出4阶行列式中所有带有负号并且包含因子a2a3的项. 4. 按定义计算行列式
0010?0002?00????00?n?1000??02???0010?0000? 0n(1) ?0n; (2)
?n?10x1x2111x2xa1j2a2j2?anj22?111??a1jna2jn??anjn5. 设 f(x)?131a1j1，不计算行列式，求展开式中x3的系数.
6. 求
?j1j2?jna2j1?anj1，这里
?j1j2?jn是对所有n元排列求和.
7. 证明：
a11(t)a11(t)da21(t)dt?an1(t)a12(t)a22(t)?an2(t)???a1n(t)a2n(t)?ann(t)n??ddtddt?ddta1j(t)a2j(t)??a1n(t)a2n(t)???j?1a21(t)?an1(t)
?anj(t)?ann(t)8. 计算下列行列式.
246427543721327443; (2) 621xyx?yyx?yxx?yxy123412222341241232222(1) 1014?342; (3)
234
1?x11?x11111?y111101111?y73?9?2?324736934a2222(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)2222(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)12235?74(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)410(4)
11101011; (5)
bcd
11013751321 210(6)
111; (7)
875; (8) 321111675739. 已知n阶行列式
a11D?a21?an1b1,b2,?,bn为常数，若Da12a22?an2????a1na2n?ann
的值为c，求下列行列式的值:
a11b1?an1bnb12a12b1b2a22b2?an2bnb22????a1nb1bna2nb2bn?annbn2a21b2b1
10. 设D是n阶行列式，若D的元素间满足关系：
aij??aji(i,j?1,2,?,n)
则称D是一个反对称行列式. 求证：当n是奇数时, n阶反对称行列式的值为零.
11. 计算下列n阶行列式
1112103???1012222223???222； ?22?n(1) 10?100； (2) 2??20?nx?aaax?aaaax?a???aaa?(3)
a?a；
aa?x?a1?a1111?a21111?a31???111?(ai?0,i?1,2,?,n)；
(4)
1?11?1?an2a1a2aa2n(a?1)(a?1)?a?11n??(a?n)(a?n)?n2a1a??1a2n?1n?1n?1(5)
?? ； (6)
2a?a1；
??a?n1x0yx0y??0000?； (8)
1?a1a1a1?a1a21?a2a2a2a3a31?a3a3???ananan?1?an(7) ?0y0000??x0
yx?12. 证明
b?cc?ac1?a1c2?a2yz0xzyx0?01110a?babb1b2cc1； c2(1) b1?c1b2?c20x0zya1?b1?2a1a2?b210zy22a21z21yx22(2)
xyz0x???2;(xyz?0)
0000?000?????1?????1?0??????0(3)
0?0?n?1??n?1???;(???)
?1???cos?112cos?1?0012cos??0???000?000?2cos??cosn?.
(4)
0?0?113. 计算下列行列式的值
a1nna1a2n?1n?1b1b2a1a2n?2n?2b122??a1b1?n?1n?1b1b2?nn(1)
a2?nb22a2b2?an?1bn?1n?1?an?1bn?1n?2;(ai?0,bi?0,i?1,2,?,n?1);
an?1?an?1bn?1n?1bn?1n12234?12345?3???n12?x?aax?a??aaax??a???aaa?aaa; ?x(2) 3?n; (3) ?a??a?n?1??ax1?a1a1a2x2?a2ana21x2??2??a1ana2an?xn?an2(4)
a2a1?ana11x1;(xi?0)
1xn?xbaxbaax???aaaaaa?(5)
?x1n?2n1; (6)
b?bb;
x2n?2n2?????xnn?2nnxxyxz?zzxyyy?bbbb?bxbaxxzyyx?zzyyy?yx(7)
z?zz ；
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