发布时间 : 星期日 文章全国高中数学联赛训练题更新完毕开始阅读
{x-x1}+{x-x2}+…+{x-xn}≤
n?1.这里，{y}表示实数y的小数部分，即{y}=y-[y]. 2331.15只国际象棋中的马，放置在15×15的方格表（的格子）中，使得任两只马不在同一行，也不在同一列.证明：每只马均走一步后，必有两只马在同一行或在同一列.（马从2×3或3×2方格中的一个角移至其对角格子中，称为走了一步）
332.设n≥2，点A1，…，An按逆时针顺序标记在一个圆周上，每个点Ai处放置一个盘子.在任意两个不同点Ai和Aj处各取一个盘子，按相反的方向移至相邻点处（盘子可以重叠）.问对怎样的n，经过若干次这样的移动后，可使n只盘子叠在一个点处？
333.n个学生参加一次数学考试，试卷由m道试题组成.考虑下述的统计结果：
设?是一实数（0﹤?﹤1），至少am个问题是难题（一个难题是指至少有an个学生未解出来）；至少有an个学生及格（一个学生及格是指他至少解决了am个问题）.
试就??237,,确定上述情形是否可能. 3410334.33个人相聚，有人问每一个人“其余人中有几个人与你同姓、同龄”，结果，回答包括了从0到10的所有整数.证明：必有两个人既同姓又同龄.
335.给定实数a1﹤a2﹤…﹤an，已知所有和ai+aj(1≤i,j≤n,i≠j)中互不相同的数恰好有2n-3个.证明：若n≥5，则a1，…，an成等差数列.
336.证明：直角坐标系中有一个点，它到各整点的距离互不相等.（整点既是横、纵坐标都是整数的点） 337.设集合Sn={1,2,…，n}.对Sn的子集X，将X中所有数之和称为X的容量（规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X和Sn的奇（偶）子集.
（1）证明：Sn的奇子集与偶子集的个数相等；
（2）证明：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等； （3）当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和.
338.将1，2，…，10这十个数依任意顺序排成一圈，证明：其中必有三个相邻的数，它们的和不小于17.
339.一次足球循环赛的结果是：所有各队得分都不相同，而最后一名胜了三场.证明：参加比赛的队不可能是12个.（一场比赛中，胜者得2分，平局各得1分，败者得0分）
340.能否在5×5的方格表中填上数1，2，…，24，25，使得每一行中都有若干符号再添上一个符号：若擦掉的两符号相同，则添“+”号；若不同则添“-”号.若干次操作后黑板上只剩下一个符号，证明；这一符号与操作次序无关.
341.任给8个正整数a1﹤a2﹤…﹤a8≤16.证明：存在一个整数k，使得ai-aj=k，1≤i≠j≤8，至少有
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三组解.
342.证明：可将1，2，…，n(n≥3)这n个自然数排成一圈，并使任何相邻两数之差不超过2，进一步证明，这种排法是惟一的（如果不计圆圈方向的顺逆）.
343. 设n为正整数，试求出最大的整数k，使得在n元集合中，可取出k个子集，其中任意两个的交非空.
345.试确定所有正整数n﹥1，使集合{1，2，…，n}可分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等.
346.设n≥2，S={1，2，…，n}.对每个1≤k≤n，记xk是S的所有k元子集的最大元素的和.试求
x1-x2+…+(-1)k-1xk+…+(-1)nn-1xn.
347.设n个非负数的和为1.证明：可将它们适当地排在圆周上，使得将每两个相邻数相乘后，所得的n个乘积之和不超过.
348.考查由m×n的0，1矩阵（元素均为0或1的矩阵）构成的集合.求每行、每列中1的个数都是偶数的这种矩阵的个数.
349.用6种不同的颜色给正方体的面染色，每个面染一种颜色，任意两个相邻的面不同色（颜色不必全部用完）.求不同的染色方法数，这里经旋转后重合的染色方式认为是同一种.
350.设p，q为给定的正整数，n=2p〃3q.求n2的正约数中,小于n且不是n的约数的数的个数. 351.设n为正整数，记Sn={1,2,…,2n}.定义Sn的两个子集：
An={A?Sn||A|=n,A中各元素之和为偶数}，
Bn={B?Sn||B|=n，B中各元素之和为奇数}.对每个n，求|An|-|Bn|的值.
1n352.设a1，a2，…，an为一个倒三角形的第1行，其中ai∈{0,1},i=1,2,…，n.数b1,b2…，bn-1为这个倒三角形的第2行，使得若ak=ak+1，则bk=0；若ak≠ak+1，则bk=1，k=1，2，…，n-1.类似定义该倒三角形的其余各行，直到第n行为止.求该三角形中1的个数的最大值.
353.设n1﹤n2﹤…﹤n2000﹤10100为任给的2000个正整数.证明：集合{n1,n2，…，n2000}中有两个没有公共元素的子集A和B.使得下述条件都满足.
（1）|A|=|B|；
（2）A中所有元素之和等于B中所有元素之和； （3）A中所有元素的平方和等于B中所有元素的平方和.
354.如果一个10位数的各数码两两不同，且它是11111的倍数，则称之为好数.求所有好数的个数. 355.将1，2，…，9填入3×3的表格，使得该表格的4个2×2的子表格中各数之和，以及该表格的4个角上的各数之和都相等.问：有多少种填表方式?
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356.在1，2，…，10 000中，有多少个数不出现数码3？这样的数中有多少个数不是3的倍数？ 357.给定正整数n(﹥1)，求1，2，…，n具有下述性质的排列（a1,a2，…，an）的个数：存在惟一的下标i∈{1，2，…，n-1}，使得ai﹥ai+1.
358.从集合{1，2，…，n}中，取出k个数，其中任意两个数之差的绝对值≥2.有多少种取法？ 359.8名女生，20名男生围成一圈，每两名女生之间至少有两名男生，问：有多少种满足条件的方法围成圆圈？
360.集合A，B，C（不必两两相）相的并集A∪B∪C={1，2，…，10}，这样的有序三元组{A，B，C}有多少组？
361.已知m，n是正整数，求不定方程x1+x2+…+xm=n的非负整数解的组数.并依此求解下述问题：
（1）求不定方程x1+x2+…+x6=200的正整数解的组数；
（2）求不定方程x1+x2+…+x6=200的正整数解中使得xi>i,i=1，2，…，6的解的组数.
362.某民航机场有1到6号共六个入口，每个入口每次只能进去一个人，问：一个小组共9个人进站的方案数有多少？
363.设n为正整数,集合S={1，2，…，n}，若S的非空子集X中，奇数的个数大于偶数的个数，则称X为好集，S的好集好的个数记为Fn，对每个正整数n,求Fn的值.
364.设S的数集{1，2，…，2003}的一个子集，且S中任意两个数的差不等于4或7.问：S最多可以包含多少个数？
365.设n≥2为正整数，P0是一个正n+1边形的一个固定的顶点，其余的顶点随意记为P1，P2，P3，…，Pn，在此n+1边形的每边上写上一个正整数，使得：如果该边的端点为Pi,Pj，则在此边上写上|i-j|，记此n+1条边上所有数的和为S.
（1）对固定的n，求S的最小值.
（2）有多少种编号（对顶点）方式使得S取最小值？
367.给定正整数n，某个协会中恰有n个人，他们属于6个委员会，每个委员会至少由证明：必有两个委员会，它们的公共成员数不小于
n个人组成.4n. 30368.某校有64人参加五门不同的学科竞赛，每门学科有至少19名学生参加，每个学生至多参加3门学科竞赛.证明：若任意3门学科竞赛均有一个公共参赛者，则存在两门学科竞赛有5个公共参赛者. 369.已知（E1，E2，E3，E4）是某个n元素合的子集组，满足：E1∩E2=?，E2∩E3≠?，E3∩E4≠?.问:有多少个这样的子集组?
370.集合S={1,2,…，2000}，对S的31元子集，如果其元素之和能被5整除，就称之为好集，求S
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的好集的个数.
371.设A1A2…An(n≥3)是圆内接凸n边形，考察以此凸n边形的顶点为顶点的子凸多边形，并将它们分为两组，每一组的每个多边形都以A1为其一个顶点，其余的为第二组.问：哪一组中多边形的个数更多？
372.设n∈N*,我们称集合{1，2，…，2n}的一个排列{x1，x2，…，x2n}具有必质P：如果存在i∈{1，2，…，2n-1}，使得|xi-xi+1|=n.求证：对任意正整数n，具有性质P的排列数比不具有性质P的排列数多. 373.将正整数n写成2的方幂和形式的无序分拆的总数记为B（n），求证：对任意n>1，均有B（n）为偶数.
374.考虑数1，2，3，4，5，6的排列a1，a2,…，a6，已知将排列a1,a2，…，a6变为1，2，…，6，需要而且只需要经过4次对换（将任意两个数交换位置，称为一次对换）.求所有这样的排列的个数.
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