发布时间 : 星期日 文章全国高中数学联赛训练题更新完毕开始阅读
AC=Y，Z=XY∩BC.求
BZ的值. ZC222．在△ABC的边BC的延长线上取一点D，使CD=AC.△ACD的外接圆和以BC为直径的圆相交于P，BP和AC相交于E，CP和AB相交于F.求证：D、E、F共线.
223．设D是线段AG的中点，在AG同侧作全等的两个凸四边形ABCD和DEFG，使它们都有内切圆，圆心分别为O1和O2，求证：AO1、CO2、CE三线共点.
224．在△ABC，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N.求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN.
225．设△A1B1C1是不等边锐角△ABC的垂足三角形，A2、B2、C2是△A1B1C1的内切圆与三边的切点.证明：△A2B2C2与△ABC的欧拉线重合.
226．设∠A是△ABC中是小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧.设U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点.线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T.证明：AU=TB+TC.
227．已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥M怕充分必要条件是S、N、T三点共线.
228．设ABCD是一个四边形.AD=BC，∠A+∠B=1200.由AC、DC、BD分别作远离AB的三个等边三角形△ACP、△DCQ、△DBR.证明：P、Q、R三点共线.
229．延长四边形ABCD的两组对边AB、CD，AD、BC分别交于E、F，证明若平面上存在一点Q，使得∠BQD=∠EQF=900，则∠AQC=900.
230．以△ABC的三边向形外分别作正方形ABHI，BCDE和CAFG.设XYZ是线段EF，DI和GH围出的三角形.证明：S?XYZ≤(4?22)S?ABC.
231．如图9.1，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠A=1200，过点A任意引直线l,设顶点B、C、D到l的距离之和为d.求d的最大值.
232．如图9.2，⊙O1与⊙O2相切于点A，点P是⊙O1上任一点，PC为⊙O2切线，C为切点.求证：
PC是定值. PA233．如图9.3，在△ABC中，∠A=600，AB﹥AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点.点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN.求
MH?NH的值.
OH234．如图9.4，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.
235．如图9.5，设I是△ABC的内心，以I为圆心的一个圆分别交BC于A1、A2，交CA于B1、B2，
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交AB于C1、C2，这六个交点在圆周上的顺序为A1、A2、B1、B2、C1、C2，设A3、B3、C3分别为A1A2、B1B2、C1C2的中心，直线A2A3、B1B3相交于C4，直线B2B3、C1C3相交于A4，直线C2C3、A1A3相交于B4.求证：直线A3A4、B3B4、C3C4三线共点.
236．如图9.6，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，?、?、?、?分别是△AEF、△BFD、△CDF和△DEF的面积.证明：
1???1???1???3?2.
237．如图9.7，过半圆8O的直径AB上一点C作CD⊥AB，交半圆于D，另一圆⊙O1内切半圆O 于P，切CD于M.求证：P、M、A共线.
238．设ABCD是一圆内接四边形，另一圆的圆心在AB上，且与另三边相切，求证：AD+BC=AB. 239．设边长分别为a，b，c，d的凸四边形ABCD外切于⊙O，求证： OA〃OC+OB〃OD=abcd.
240．凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB的重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心.证明：PQ⊥RS.
241．设ABCDEF是半径为r的圆的任意内接六边形，且AB=CD=EF=r，又设G、H、K分别是边BC、DE、FA的中点.求证：△GHK是正三角形.
242．如图9.13，ABCD是圆内接四边形，BD﹤AC，直线AB与CD交于E，直线BC与AD交于F.L与M分别为线段AC和BD的中点.求证：
LM1ACBD?(?). EF2BDAC245．如图9.14，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线.
246．双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.求证：双心四边形的两个心与对角线交点共线. 247．在△ABC中，∠C=300，O是外心，I是内心，边AC上的点D与BC上的点E满足关系AD=BE=AB.求证：OI⊥DE且OI=DE.
248．在△ABC中，G是重心，M是平面上任一点，求证：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2. 249．已知□ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，P、Q、R分别为AE、EF、AF的中点.求证：BP、CQ、DR三线共点.
250．△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于A1、B1、C1，ABC的外接圆的弧BAC、CBA、ACB的中点分别为A2、B2、C2.求证：A1A2、B1B2、C1C2三线共点.
251．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q. 求证：MQ∥NP.
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252．在锐角△AC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB=M，FN⊥AC=N，延长AE交△匠外接圆于D点.求证：四边形MADE与△ABC的面积相等. 253．△ABC内接于一个半径为R的圆，设P为△ABC内部的一点.求证：
PAPBPC1??. ≥222RBCCAAB254．过△ABC的三边中点D、E、F分别作它的内切圆的切线，设所引的切线分别与EF、FD、DE交于L、M、N.求证：L、M、N三点共线.
255．△ABC三边的中点为E、F、G，三条高的垂足为P、Q、N，垂心X与各顶点连线的中点为K、L、M.求证：EFGPQNKLM九点共圆，它的圆心W在过垂心X、重心Y和外心Z的欧拉线上，且XW：WY：YZ=3:1:2.
256．一个等腰锐角△ABC，D是底边AB中点，点E在AB上，O是△ACE的外接圆心.证明：过D垂直于DO，过E垂直BC和过B平行于AC的三线共点.
257．已知△ABC的外心为O，内心为I，垂心为H，且O、I、H不共线， △OIH的外接圆过△ABC的一个顶点.求证：它必过△ABC的另一顶点.
258．如图10.3，直三棱柱ABC—A1B1C1中AC=BC，连接AB1，BC1，CA1，若AB1⊥BC1，则AB1⊥CA1.
259．正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，M、N分别在对角线AC和BF上，并且AM=FN，求证MN∥平面BEC.
260．设ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=900，点D1，E1分别是A1B1与A1C1的中点.若BC=CA=CC1=10.求：
（1）BD1与AE1所在的角； （2）BD1与AE1之间的距离.
261．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BC、CD的中点.
（1）证明：B1EFD1是等腰梯形； （2）求二面角D1—B1E—C1的大小.
262．如图10.11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，侧棱AA1=2.D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（1）求A1B与平面ABD所成的角； （2）求点A1到平面ADE的距离； （3）求AB1与BD所成的角； （4）求AB1与BD的距离.
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263．已知正三棱锥S—ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O?，在AO?上取一点P，使AP：PO?=8，求经过P点且平行底面的截面的面积.
264．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比.
265．四面体ABCD被平面?所截，对棱AB，CD都与?平行且与?等距，设?截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积.
266．直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=?，AD是BC边上的高，若此直棱柱的侧面积为S，过BC1且与AD平行的平面与底面成角?，求这平面截棱柱所得截面面积以及棱柱被截面分成的两部分的体积.
267．已知圆锥的表面积等于其内切球的表面积的n倍，试确定正整数n的一切可能值.
268．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，则直线A1C1与BD1的距离等于 ，夹角等于 .
269．正四棱锥 S—ABCD中，∠ASB=450，二面角A—SB—C为?且cos?=m+n(m，n为整数)，求m+n.
270．已知正方体ABCD—A?B?C?D?的棱长为1，M，N分别是B?C?、BB?的中点，P是MN的中点，求DP与AC?的距离与夹角.
271．设正三棱锥P—ABC中，AB=a，PA=2a，过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面△ADE的周长最小时，求S?ADE及P到截面ADE的距离.
272．直三棱柱A1B1C1—ABC中，平面A1BC⊥平面ABB1A1，且AC=3AA1，AC与平面A1BC所在的角为?，求?的取值范围.
273．设AB是圆台上底面⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B的任意一点，A?是下底面⊙O?上的点，使得平面A?AC垂直于下底面.又M为A?C的中点，AC=AA?=2，∠A?AC=1200，∠BA?C=300.
（1）求证：AM⊥平面A?BC； （2）求二面角A—A?B—C的大小.
274．四棱锥S—ABCD的底面是中心为O的矩形ABCD，AB=4，AD=12，SA=3，SB=5，SO=7，N为棱BC上一点，过S，O，N三点作截面交AD于M，问BN为何值时，截面△SMN取最小值？最小值是多少？
275．空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3.每个球都与其他三个球外切，别一个小球与这四个球都相切，求这个小球半径.
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