发布时间 : 星期二 文章浙江省舟山市2021届新高考数学三模考试卷含解析更新完毕开始阅读
③当?1?1??1?????1，???时，f??x??0；当x???，1?时，f??x??0. ?1，即a??1时，当x??0，aaa????1??1??1?单调递减，?1??上单调递增，??，，???单调递增. 所以y?f?x?在?0，a?a???，???单调递减. 综上，当a?0时，y?f?x?在?01?上单调递增，在?1，???上单调递增；y?f?x?在?1，?，当?1?a?0时，y?f?x?在?01?及??，?1?a????1??上单调递减. a????上递增. 当a??1时，y?f?x?在?0，1??1??1?上递减. ??及?1，???上单调递增；y?f?x?在??，当a??1时，y?f?x?在?0，aa????（2）满足条件的A、B不存在，理由如下：
假设满足条件的A、B存在，不妨设A?x1，y1?，B?x2，y2?且0?x1?x2， 则kAB?y1?y2lnx1?lnx21??a?x1?x2??a?1， x1?x2x1?x22又f??x0??f??x1?x22?x1?x2???a??a?1， ?2x?x2??12由题可知kAB?f??x0??x?2?1?1?xlnx1?lnx2x2x?2x22，整理可得：??ln1?1??2?，
x1x1?x2x1?x2x2x1?x2?1x2令t?x12?t?1?（0?t?1），构造函数g?t??lnt?（0?t?1）. x2t?12?t?1??014?则g??t???， 22t?t?1?t?t?1?，所以g?t?在?01?上单调递增，从而g?t??g?1??0，
所以方程lnx12x1?2x2?无解，即kAB?f?x0无解. x2x1?x2??综上，满足条件的A、B不存在. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 19．已知a，b，c分别为VABC内角A，B，C的对边，且b2?3a2?3c2. （1）证明：b?3c?cosA；
（2）若VABC的面积S?2，b?6，求角C.
【答案】（1）见解析；（2）45? 【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得b?3c?cosA
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到tanA?2tanC，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tanA，进而求得tanC的值，从而求得角C. 【详解】
（1）由已知得c?a??b，
由余弦定理得2bccosA?b?c?a?b?b?22222213213222b，∴b?3c?cosA. 3（2）由（1）及正弦定理得sinB?3sinCcosA，即sin?A?C??3sinCcosA， ∴sinAcosC?cosAsinC?3sinCcosA，∴sinAcosC?2sinCcosA， ∴tanA?2tanC.
11b1S?2?bcsinA?b??sinA?b2tanA，
223cosA6∴tanA?2，tanC?1，C?45?. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．如图，在四棱锥M?ABCD中，AB?AD，AB?AM?AD?2，MB?MD?22.
（1）证明：AM?平面ABCD；
（2）若CD//AB，2CD?AB，E为线段BM上一点，且BE?2EM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）159 53【解析】 【分析】
（1）利用线段长度得到AM与AB,AD间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果. 【详解】
（1）∵AB?AM?AD?2，MB?MD?22， ∴AM2?AD2?MD2，AM2?AB2?MB2 ∴AM?AD，AM?AB
∵AB?AD?A，AD?平面ABCD， ∴AM?平面ABCD
（2）由（1）知AB?AD，AM?AD，AM?AB
又A为坐标原点，分别以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
uuuruuuur 则A?0,0,0?，M?0,2,0?，D?2,0,0?，B?0,0,2?，C?2,0,1?，BD??2,0,?2?，DM???2,2,0?，
r?41?uuuruuur?42?uuu∵BE?2EB，∴E?0,,?，CE???2,,??
33??33??r设n??x,y,z?是平面BDM的一个法向量
vvuuur?n?BD?0?2x?2z?0v则?vuuuu，即?，取x?1得n??1,1,1?
?2x?2y?0??n?DM?041ruuur?2??n?CEruuur15933uuur??∴cos?n,CE??r 53|n|?|CE|533?3∴直线EC与平面BDM所成的正弦值为【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，
159 53注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.
21．已知三棱锥P?ABC中，VABC为等腰直角三角形，AB?AC?1, PB? PC?5，设点E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF?2FB．
（1）证明：BD//平面CEF；
（2）若PA?AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】 (1)证明见解析；(2) 【解析】 【分析】
（1）连接PD交CE于G点，连接FG，通过证BD//FG，并说明FG?平面CEF，来证明BD//平面CEF
（2）采用建系法以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A?xyz，分别表示出对应的点B,C,P,E坐标，设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，结合直线对应的CE和法向量
2 6ruuurrn，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可
【详解】
?1?证明：如图，
连接PD交CE于G点，连接FG，Q点E为PA的中点，点D为AC的中点，