发布时间 : 星期一 文章热点问题7 解析几何中的定点定值问题（16教师版）更新完毕开始阅读
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热点问题7 解析几何中的定点、定值问题
一、填空题
1．已知a?R，直线l：(a?1)x?2ay?3?0，则直线l经过的定点的坐标为 ．
答案 ?3,???3?? 2??x?2y?03??解析 由a(x?2y)??3?x??0知，直线l经过两直线?的交点，即点?3,??．
2???3?x?02．已知实数a,b,c满足b?c?2a，直线l：ax?by?c?0，过点P?2,3?作直线l的垂线，垂足
为M，O为坐标原点，则线段OM的最大值为 ． 答案 2?5 2解析 由条件知直线l经过定点Q??2,1?，点M在以PQ为直径的圆x??y?2??5上，由
2几何性质知OM的最大值为2?5．
3．(2013·盐城三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0，
直线l经过点 (－1，1)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ． 答案 2x?y?1?0
解析 由条件知圆心C?3?m,2m?在直线2x?y?6?0上，若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l的方程为2x?y?1?0．
224．已知AC、BD为圆O：x?y?4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2，则
??AC2?BD2=______
答案 20
解析 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1,d2，则
22AC2?BD2?4(4?d12)?4(4?d2)?32?4(d12?d2)=32?4OM2?20
5．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若
存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60?，则圆M的方程为 ． 答案 (x－1)2＋y2＝1
解析 设定圆圆心M?a,b?，半径为r，动点P?x,y?，由题意知MP?2r，
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2即?x?a???y?b??4r，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以有
22?2?2a?x?2by?a2?b2?4r2?3?0对任意x,y都成立，所以a?1,b?0,r2?1，
所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．
6．(原创)已知圆C:(x?1)2?y2?4，O为原点，A为平面内一定点，对于圆C上任意一点P，
都有PA?2PO 则点A的坐标为 . 答案(3，0)
解析 设A(m,n),P(x,y),由PA?2PO，得(x?m)2?(y?n)2?4(x2?y2)， 化简得：3x2?3y2?2mx?2ny?m2?n2?0，又因为x2?y2?2x?3?0，
所以(2m?6)x?2ny?9?m2?n2?0，因为对任意的x,y恒成立，所以m=3,n=0.得A(3，0)
x2y2??1上一点A(2,2)，点B是椭圆上任意一点（异于7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆84点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，
kAB?kAC=___________.
答案 0
?2y?2?x?2?2得C22,0 解析 取特殊点B?0,?2?，则BC的方程为y?2?x，由?22?x?y2?4??2
??所以kAB?kAC?2?22??0. 22?22x2y22一般情况：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，点
ab2?b2?A?c,?，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作直线OA的平行线l交椭圆于点C，当
a??直线AB、AC斜率都存在时，kAB?kAC=0.
x2y2??1的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线8．已知椭圆
164AM、AN的斜率记为k1,k2，满足k1?k2??2，则直线MN经过的定点为___________．
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答案 T???28?,0? 9???x2y224?16k24k12?64??14?16k12?解析 由?164，同理xN?． ?2?xM?221?4kk?161?4k121?y=k?x+4?1?yM?8k1?16k1?28?，,取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点y?k?1TxN1??,0?.
1?4k1216?k12?9?x2y2一般情况：在平面直角坐标系xOy中，过椭圆2?2?1?a?b?0?上一定点A作两条弦AM、
abAN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为k1,k2，当k1?k2为非零常数时，直线MN经过定点. 二、解答题
x29.（2014年苏锡常二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆?y2?1的左、右焦点分别为F ?
4与F，圆F：x?3??2?y2?5．
??????????（1）设M为圆F上一点，满足MF'?MF?1，求点M的坐标；
（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，
证明：点F到直线QT的距离FH为定值．
y??????????解：（1）F(?3,0),F(?3,0),设M(m,n),由MF'?MF?1,得
'F 'QOHFx(m?3)(m?3)?n2?1即m2?n2?4.① 又(m?3)2?n2?5.② 由①，②得m?333333333)或M(,-). ,n??. ?M(,333333PT
（2）设点P(x0,y0)，则圆P的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?x02?y02. 即x2?y2?2x0x?2y0y?0.③ 又圆F的方程为(x?3)2?y2?5.④ 由③，④得直线QT的方程为(x0?3)x?y0y?1?0.
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所以FH?3(x0?3)?1(x0?3)?y022?3x0?4x0?y0?23x0?322.
x02x0222?y0?1,即y0?1?. 因为P(x0,y0)在椭圆上，所以44所以FH?3x0?4x02?(1?x0)?23x0?342?3x0?43x0?23x0?442?(3x0?43x0?2)22?2.
x22
10．(2014·安徽蚌埠三模)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋y＝1的上、下顶点
4分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.
（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值； （2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
x22
解：（1）由题设＋y＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1).
4
令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0.
y0－1y0＋1
所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝. x0 x0
yAOBNMxPx02?y02?1（x0≠0）又点P在椭圆上，所以，从而有 4y0－1y0＋1y02－11（第10题） k1·k2＝.＝2＝－. x0 x0 x04
（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为
y－(－1)＝k2(x－0).
3??y?1?k1x?x??由?，解得?k1；
y??2???y??21??y?1?k2x?x??由?，解得?k2.
y??2???y??2 所以，直线AP与直线l的交点N(? 于是MN?|31,?2)，直线PB与直线l的交点M(?,?2). k1k2311
?|，又k1·k2＝－4，所以 k1k2[来源学科MN?|333?4k1|??4|k1|≥2?4|k1|＝43， k1|k1||k1|- 4 -