发布时间 : 星期三 文章概率论与数理统计（韩旭里 北京大学出版社）第5章习题详解更新完毕开始阅读
其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率. 【解】E(Ti)?1??11?10, D(Ti)?2?100, 0.1? E(T)?10?30?300, D(T)?3000.
故
?350?300??5?P{T?350}?1????1??????1??(0.913)?0.1814.
?3000??30?9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率
保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，
E(T)=10n，D(T)=100n.
从而P{故
?T?306?8}?0.95,即0.05???ii?1n?306?8?10n??.
?10n?n?244.8,n?10n?2448?0.95????,?10n?1.64?n?272.
所以需272a元.
10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1
名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？
（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400. 而X?0.15 ?Xi400i,由中心极限定理得
400i?Xi?400?1.1400?0.19X?400?1.1近似地?~N(0,1).
4?19于是P{X?450}?1?P{X?450}?1??? ?1??(1.147)?0.1357.
?450?400?1.1??
4?19??(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得
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?340?400?0.8?P{Y?340??????(2.5)?0.9938.
?400?0.8?0.2?11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于
男孩个数的概率，即求
P{X≤5000}. 由中心极限定理有
?5000?10000?0.515?P{X?5000}??????(?3)?1??(3)?0.00135.
?10000?0.515?0.485?12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，
在一次行动中：
（1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.
令 Sn=X1+X2+…+X1000.
(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件
S?900??m?1000?0.9{m?Sn}???n?. 90??1000?0.9?0.1由中心极限定理知：
?m?1000?0.9?P{m?Sn}?1?P{Sn?m}?1?????0.95.
?1000?0.9?0.1?从而 ???m?900???0.05, 90??m?900??1.65, 90故
所以 m=900-15.65=884.35≈884人 (2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.
?M?900?P{Sn?M}?????0.95.
90??查表知M?900=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人. 9013. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死
亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；
（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？
【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.
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(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为
P{X?120}?1?120?10000?0.006????
10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?59.64)21?(60/111?60?????ge2? 59.64?59.64?2?59.64?0.0517?e?30.1811?0
(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为
?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????
?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契
比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z=X-Y，有
E(Z)?0,D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XPD(X)gD(Y)?3.
所以
P{|Z?E(Z)|?6}?P{|X?Y|?6}?D(X?Y)31??. 26361215. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查
的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出X的概率分布；
（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
（1988研考）
【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗
户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是
kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k,k?1,2,L,100.
(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心
极限定理，得
?30?100?0.2??14?100?0.2?P{14?X?30}????????
?100?0.2?0.8??100?0.2?0.8? ??(2.5)??(?1.5)?0.994?[?9.33]?0.927.
16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差
为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
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【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，
可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知： E(Xi)?50, D(Xi)?5, E(Tn)?50n,
D(Tn)?5n.
依中心极限定理，当n较大时，Tn?50n近似地5n~N(0,1),故箱数n取决于条件 P{T?T?50n5000?50n?n?5000}?P?n?5n?5n??
????1000?10n??n???0.977??(2). 因此可从1000?10nn?2解出n<98.0199, 即最多可装98箱.
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