发布时间 : 星期五 文章高考数学(理)大一轮复习习题： 数列的综合问题 word版含答案更新完毕开始阅读
课时达标检测（三十二） 数列的综合问题
1．数列{1＋2A．1＋2 C．n＋2－1
解析：选C 由题意得an＝1＋21－2n所以Sn＝n＋＝n＋2－1.
1－2
2．(2017·长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12 C．－12
nnnn－1
nnn－1
}的前n项和为( )
B．2＋2 D．n＋2＋2 ，
nn D．－15
解析：选A ∵an＝(－1)(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
3．(2016·南昌三模)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝数列{bn}的前n项和为( )
A.C.
1
，则
a1＋a2＋…＋ann＋1
2n＋2n－1
n＋2
3B.－423D.－4
2n＋3
n＋1n＋22n＋3
n＋1n＋2＝n(n＋2)，所以bn＝
1
nn＋2
＝12
解析：选B 易得a1＋a2＋…＋an＝
n3＋2n＋1
2
2n＋3?1－1?，故T＝11＋1－1－1＝3－
. ?nn＋2?n22n＋1n＋242n＋1n＋2??
113n4.＋＋＋…＋n的值为________． 2282123n解析：设Sn＝＋2＋3＋…＋n，①
2222112n－1n得Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，② 2222211111n①－②得，Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1
2222221??1?n?
?1－???2??2??n＝－n＋1，
121－2∴Sn＝
2
n＋1
－n－2n＋2
＝2－n. n22
答案：2－
n＋2
2
n
n5．(2017·江西八校联考)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)an＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017＝________.
解析：∵an＋1＋(－1)an＝cos(n＋1)π＝(－1)
*
nn＋1
，∴当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N，∴S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.
答案：－1 007
一、选择题
2－1321
1．(2017·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝n，若{an}的前n项和Sn＝，则n264＝( )
A．3 B．4 C．5
D．6
nn2－11111321?1?解析：选D 由an＝n＝1－n得Sn＝n－＋2＋…＋n＝n－?1－n?，则Sn＝＝n2222264?2?
?1?－?1－n?，将各选项中的值代入验证得n＝6.
?2?
5
2．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q2＝10，则ap－aq＝( )
A．14 B．15 C．16
D．17
5
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，由题意分析知d>0，因为a3，a4＋，a11成等
25?2??7?22
比数列，所以?a4＋?＝a3a11，即?＋3d?＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d－36d－45＝0，所
2???2?153?3n－13?以d＝?d＝－舍去?，所以an＝.所以ap－aq＝(p－q)＝15. 222?22?
3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)，那么S100的值为( ) A．2 500
B．2 600 C．2 700 D．2 800
n解析：选B 当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2，
??1
所以an＝n，故an＝?
?n?
n为奇数，n为偶数，
于是S100＝50＋
2＋100
2
×50
＝2 600.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为( ) A．2 017 B．2 016 C．1 009 D．1 007
解析：选C 因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1
＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故选C.
π*
5．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋
22cos，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
2
A．0 B．－9 C．9
D．1
2
x?π?解析：选C 由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f??＝?2?
1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.
5
6．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，
2
?
则数列?
?
12n＋1
?
?的前n项和Tn＝( ) an?
A．－C．－
n 2n＋1
2n 2n＋1
B.D.
2n＋12n 2n＋1
n解析：选C 设{an}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋
a3－a135
＝a1－，S4＝
2
2
4
5?2?15?15?32
3a3＋a1＝a1－，S1，S2，S4成等比数列，所以?a1－?＝?a1－?a1，整理得4a1＋12a1＋5
4??2?2?25151
＝0，所以a1＝－或a1＝－.当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；当a1＝－时，
2222公差d＝1
2n＋1
a3－a1
2111
＝－1，所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，所以
222
2
2n－1
2n＋1
1111＝－－，所以其前n项和Tn＝－1－＋－
2n－12n＋133
an＝－
1?1112n?＋…＋－＝－?1－＝－，故选C. ?52n－12n＋12n＋1?2n＋1?
二、填空题
7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则
*
a1＝________，S5＝________.
1?1?解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3?Sn＋?，
2?2?1
?21?
∴数列?Sn＋?是公比为3的等比数列，∴＝3.
2?1?
S1＋
2
S2＋
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
1?1?342434
∴S5＋＝?S1＋?×3＝×3＝，∴S5＝121.
2?2?22答案：1 121
112
8．已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列的前2 016项的和等于
22________．
1112
解析：因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝
2221??，n＝2k－1k∈N*，
?2??1，n＝2kk∈N*，
答案：1 512
9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2
n－1
nn
?1?故数列的前2 016项的和等于S2 016＝1 008×?1＋?＝1 512.
?2?
＋2
n－2
2－2nn＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2.
1－2
2
n2－2n＋1
∴Sn＝＝2－2.
1－2答案：2
n＋1
n＋1
－2
nn－1
10．(2017·福建泉州五中模拟)已知lg x＋lg y＝1，且Sn＝lg x＋lg(x－22
y)＋lg(xny)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn，则Sn＝________.
解析：因为lg x＋lg y＝1， 所以lg(xy)＝1. 因为Sn＝lg x＋lg(xnnn－1
y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn，
)＋…＋lg(xnn－22
所以Sn＝lg y＋lg(xyn－1
y)＋lg(xn－1y)＋lg xn，
nnnnn－1
两式相加得2Sn＝(lg x＋lg y)＋＋…＋(lg y＋lg x)＝lg(x·y)＋lg(x1
ny·xyn－
)＋…＋lg(y·x)＝n＝nlg(xy)＝n，所以Sn＝. 2
答案：
2三、解答题
11．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，
*
nn22
n2
n2
且满足b1＝a1，b4＝S3.