发布时间 : 星期一 文章十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)更新完毕开始阅读
则点E的轨迹方程为（Ⅱ）椭圆C1：
1（y≠0）； 1，设直线l：＝my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（﹣1）， 由
可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设M（1，y1），N（2，y2）， 可得y1+y2
，y1y2
，
则|MN|
?|y1﹣y2|?
?
A到PQ的距离为d
12?，
，
|PQ|＝22，
则四边形MPNQ面积为S|PQ|?|MN|??12?
＝24?24，
当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24?
）．
8，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8
5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系Oy中，曲线C：y点．
（Ⅰ）当＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由） 【解答】解：（I）联立
，不妨取M
，N
，
与直线l：y＝+a（a＞0）交于M，N两
由曲线C：y可得：y′，
∴曲线C在M点处的切线斜率为同理可得曲线C在点N处的切线方程为：
，其切线方程为：y﹣a
．
，化为．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（1，y1），N（2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：1，2． 联立
，化为2﹣4﹣4a＝0，
∴1+2＝4，12＝﹣4a． ∴1+2
当b＝﹣a时，1+2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补， ∴∠OPM＝∠OPN． ∴点P（0，﹣a）符合条件．
6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：
1（a＞b＞0）的离心率为
，F是
．
椭圆的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知所以a＝2
，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程
，得．…．
又
，
（Ⅱ）依题意当l⊥轴不合题意，故设直线l：y＝﹣2，设P（1，y1），Q（2，y2） 将y＝﹣2代入
，得（1+42）2﹣16+12＝0，
当△＝16（42﹣3）＞0，即
时，
从而
又点O到直线PQ的距离设
，则t＞0，
，所以△OPQ的面积
，
，
当且仅当t＝2，＝±等号成立，且满足△＞0，
﹣2或y
﹣2．…
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y
7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|． 【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，
而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3． ∴曲线C的方程为
（≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（，y），
由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|
．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，
设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），
由l于M相切可得：，解得．
当时，联立
，得到72+8﹣8＝0．
∴∴|AB|
，．
由于对称性可知：当时，也有|AB|．
综上可知：|AB|
或．
8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点； （1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为
，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p 点A到准线l的距离∵△ABD的面积S△ABD∴
解得p＝2，所以F坐标为（0，1）， ∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8． （2）由题设
，则
，
，
，
，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称． 由点A，B关于点F对称得：