发布时间 : 星期四 文章2020年高考模拟山东省淄博市部分学校高考数学二模考试试卷 含解析更新完毕开始阅读
即k2m2＞9b2﹣9m2， ∵b＝m﹣m，
∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2， 即k2＞k2﹣6k， 即6k＞0， 则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3， 由（1）知OM的方程为y＝设P的横坐标为xP，
x，
由得，即xP＝，
将点（，m）的坐标代入l的方程得b＝即l的方程为y＝kx+将y＝得kx+解得xM＝
x，代入y＝kx+
＝
x ，
，
，
，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM， 于是解得k1＝4﹣
＝2×或k2＝4+
，
，
∵ki＞0，ki≠3，i＝1，2， ∴当l的斜率为4﹣
或4+
时，四边形OAPB能为平行四边形．
21．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α+βx2，②y＝eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1，2，…，12，
并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值． 令ui＝xi2，vi＝lnyi（i＝1，2，…，12），经计算得如下数据：
20
66 770 200 460 4.20
3125000 21500 0.308 14
（1）设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？
附：①相关系数r＝，
回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝
，＝；
②参考数据：308＝4×77，≈9.4868，e4.4998≈90．
【分析】（1）由题意计算相关系数，比较它们的大小即可；
（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程； （ii）利用回归方程计算y＝90时x的值即可．
解：（1）由题意，＝
，…
＝，…
则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好；… （2）（i）先建立v关于x的线性回归方程， 由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx；…
由于，…
，…
所以v关于x的线性回归方程为所以
，则
， ；…
（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90， 代入
，得90＝e0.02x+3.84，
又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x+3.84，… 所以
，
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元… 22．设函数f（x）＝2ln（x+1）+（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x≥0，都有f（x）≤ax，求a的最小值；
（Ⅲ）已知数列{an}中，a1＝1，且（1﹣an+1）（1+an）＝1，若数列{an}的前n项和为Sn，
．
求证：Sn＞﹣lnan+1．
【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值； （Ⅲ）先求出数列问题转化为证明：
通过换元法或数学归纳法进行证明即可． 解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（﹣1，+∞），当
所以函数f（x）在（Ⅱ）设
时，f′（x）＜0，当
上单调递减，在，
，
时，f′（x）＞0，
单调递增．
是以
1为公差的等差数列，为首项，
，
，
，
则，
因为x≥0，故，
（ⅰ）当a≥2时，2﹣a≤0，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，+∞）单调递减， 而g（0）＝0，所以对所有的x≥0，g（x）≤0，即f（x）≤ax； （ⅱ）当1＜a＜2时，0＜2﹣a＜1，若（x）单调递增， 而g（0）＝0，所以当
时，g（x）＞0，即f（x）＞ax；
，则g′（x）＞0，g
（ⅲ）当a≤1时，2﹣a≥1，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）单调递增， 而g（0）＝0，所以对所有的x＞0，g（x）＞0，即f（x）＞ax； 综上，a的最小值为2．
（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an?an+1，由a1＝1得，an≠0， 所以
，数列
是以
为首项，1为公差的等差数列，