发布时间 : 星期一 文章[政史地]经典易错题会诊与高考试题预测四更新完毕开始阅读
-1 的等比数列.
44.(典型例题)在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,求数列{kn}的通项kn.
2[考场错解]∵an=a1+(n-1)d,a2=a1·a4
∴(a1+d)=a1(a1+3d).∴d=a1,∴an=nd.a1=d.a3=3d.∴∴
akn?1akn?2
a3=3=q.∴akn?knd.akn?1?kn?1d. d1kn?1n-1n-1
=q=3.∴{kn}是公比为3的等比数列.∴kn=1·3=3. kn[专家把脉]错因在把k1当作数列{an}的首项.k1=1.而实际上k1=9.
2[对症下药]依题设得an=a1+(n-1)d,a2=a1a4,∴(a1+d)=a1(a1+3d),整理得d=a1d, ∵d≠0,∴d=a1,得
2
2
an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,…kndn…是等比数列.由d≠0,所以数列1,3,k1,k2,…kn,… 也是等比数列,首项为1,公比为q=
n-1
n+1
3=3,由此得k1=9.等比数列{kn}的首项k1=9,公比q=3,所以1n+1
kn=9×q=3(n=1,2,3,…),即得到数列{kn}的通项kn=3.
专家会诊
1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.
2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.
3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处. 考场思维训练
1已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜整数n是 （ ）
A．5 B.6 C.7 D.8 答案： C 设
111??3(an?1??)??(an??),则???1,?3(an?1?1)??(an?1)1),??an?1?是以8为首项,?为公比的等比数列,?an?8(?)n?1?1,Sn?6?1?(?)n??333??可化为3n?750,最小整数n是7.1的最小1252 已知等差数列{an}的首项为a,公差为b;等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b∈N,且a1＜b1＜a2＜b2＜a3.
(Ⅰ)求a的值;
?a?a?b?ab?a?2b,a,b???,?a??????a???b,b?12bb?11?a?1?,? ?a?1?b?1?????a?2或a?3(a?3时不合题意舍去).故a?2.?a?4.?a?2?2.?b?1?+
答案：?a?b?ab,???ab?a?2b.
(Ⅱ)若对于任意n∈N,总存在m∈N，使am+3=bn,求b的值； 答案：am?2?(m?1)b,bn?b?2n?1,由am?3?bn,可得5?(m?1)b?b.2n?1,
即b(2-m+1)=5,∴b=5.
+
(Ⅲ)在(Ⅱ)中，记{cn}是所有{an}中满足am+3=b,m∈N的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为{cn}
+
的前n项和，Sn≥Tn(n∈N).
.n-1
答案：由(2)知an=5n-3,bn=52,
?am?bn?3?5?2n?1?3,?Cn?5.2n?1?3,1n(5n?1).2?S1?T1?2,S2?T2?9.当n?3时,?Sn?5(2n?1)?3n,Tn?121n?n?1]2211?5[(1?1)n?n2?n?1]2212123?5[1?C1n?Cn?Cn??)?n?n?1]22n(n?1)121?5[1?n??n?n?1]?0.222?Sn?Tn.综合以上,便得Sn?Tn(n???).Sn?Tn?5[2n?2
n-1
++
3 设函数f(x)=ax+bx+c的图像是以（2，0）为顶点且过点（1，1）的抛物线；数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=f(d-1),
a3=f(d+1);数列{bn}是以q(q＞0)为公比的等比数列，且b1=f(式；
22
答案：解设f(x)=a(x-2) ∵过点(1,1),∴f(x)=(x-2)
a1?f(d?1)?(d?3)2,a3?f(d?1)?(d?1)2a3?a1?2d,(d?1)2?(d?3)2?2d得d?4又a1?(d?3)3?1?an?4n?3111b1?f(?1)?(?3)2,b3?f(?1)qqq 1?13132b2q?(?1):?q()2?q2q?0,得q?,1qb13?3q13又b1?(?3)2?(3?3)2?bn?(3?3)2()n?1q311-1),b3=f(+1). 求数列{an}{bn}的通项公qq4 知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,…),a2≠
a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…)其中a为常数，k为非零常数.
+
(1)令bn=aa+1-an(n∈N),证明：数列{bn}是等比数列；
答案：证明:由b1?a2?a1?0,可得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
由数学归纳法可证bn?an?1?an?0(n???)由题设条件,当n?2时 bnan?1f(an)?f(an?1)k(an?an?1)????kbn?1an?an?1an?an?1an?an?1因此,数列{bn}是一个公比为k的等比数列(2)求数列{an}的通项公式；
n-1n-1
答案：解;由(1)知,bn=kb1=k(a2-a1)(n∈N)
1?kn?1当k≠1时,b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)(n?2)
1?k当k=1时,b1+b2+?+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n≥2).
而b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ ?+(an-an-1)=an-a1 (n≥2)
1?kn?1所以,当k≠1时an-a1=(a2-a1)(n?2).
1?k上式对n=1也成立.所以,数列{an}的通项公式为
an?a?(f(a)?a)1?kn?1(n???)当k?1时an?a1?(n?1)(a2?a1)(n?2). 1?k上式对n=1也成立,所以,数列{an}的通项公式为an=a+(n+1)(f(a)-a) (n∈N?)
(3)当|k|＜1时，求
liman.n??
?1?kn?1?f(a)?a答案：解:当|k|<1时 liman=lim?a?(f(a)?a) ??a?1?k1?k???? n→∞n→∞
*
5设实数a≠0，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|(n∈N),Sn=b1+b2+…+bn,求证:当a≠-1时，对任意自然数n都有Sn=答案：解:an?a1qn?1?a(?a)n?1?(?1)n?1an.
?bn?anlg|an|?(?1)n?1anlg|(?1)n?1an|?(?1)n?1na2lg|a|
?Sn?alg|a|?2a2lg|a|?3a2lg|a|???(?1)n?2(n?1)an?1lg|a|?(?1)n?1nanlg|a|
alg|a|(1?a)2[1+(-1)(1+n+na)a]
n+1n
?[a?2a2?3a3???(?1)n?2(n?1)an?1?(?1)n?1nan]lg|a|记S?a?2a2?3a3???(?1)n?2(n?1)an?1?(?1)n?1nan①
aS=aa2?2a2???(?1)n?3(n?2)an?1?(?1)n?2(n?1)an?(?1)n?1nan?1②
①+②得(1?a)S?a?a2?a3???(?1)n?2an?1?(?1)n?2an?(?1)n?1nan?1 ③
∵a≠-1, ∴(1+a)S=
?S?a?(?1)n?1an?1?(?1)n?1n.an?1
1?(1?a).a?(?1)n?1an?1?(1?a)?(?1)n?1n.an?1(1?a)2(?1)n?1an?1(1?a)2n?1n?S?a?(1?n?na)??a[1?(1?n?na)(?1)2
a](1?a)alg|a|?Sn?[1?(?1)n?1(1?n?na)an]2(1?a)命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 1．（典型例题）已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…),其中a为常数，k为非零常数.
*
(Ⅰ)令bn=aa+1-an(n∈N),证明数列{bn}是等比数列； (Ⅱ)求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)当|k|＜1时，求
liman.n??
[考场错解](Ⅰ)证明:由b1=a2-a1≠0,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由数学归纳法可证bn=an+1-an≠0(n∈N).由题设条件，当n≥2时
故数列{bn}是公比为k的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知
bn=k(a2-a1)(n∈N)b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)
n-1
*
*
bna?af(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1n??=k bn?1an?an?1an?an?1an?an?11?kn?11?k. (n≥2) 而
b1+b2+…+bn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1(n≥2)
1?kn?1∴an-a1=(a2-a1)(n≥2)
1?k1?kn?1**
故an=a[f(a)-a] (n∈N)∴an=a+(n-1)[f(a)-a](n∈N)
1?k(Ⅲ)当|k|＜1时
liman?f(a)?a1?kn?1?= ?a?(f[a]?a)?=a+
1?k1?kn??n??????lim2.（典型例题）如图，直线l1:y=kx+1-k(k≠0，k≠?)与l2相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交于直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交
直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…点Pn(n=1,2,…)的横坐标构成数列{xn}.
(Ⅰ)证明xn+1-1=
1*
(xn-1)，(n∈N); 2k12