发布时间 : 星期四 文章小学数学奥数基础教程（四年级）目30讲全[1]更新完毕开始阅读
小学奥数基础教程（四年级） - 17 -
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。 例1 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873； （2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11 =7÷11＝0??7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。 （17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1??4，所求余数是11-4=7。 例3 求
除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72??7， 11-7=4，所求余数是4。
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例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8， 奇
数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。 例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由 （9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。 例6 六位数
能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为六位数能被9整除，所以 A+2+8+7+5+B ＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除，所以 （A＋8＋5）－（2＋7＋B） ＝A-B＋4
应能被11整除，即 A-B+4=0或A-B+4=11。 化简得B-A＝4或A-B＝7。 因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。 在（2）中，上、下两式相加，得 （B＋A）＋（B-A）＝14＋4， 2B＝18，
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B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。 所以，A=5，B＝9。 练习6
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？ 3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。 4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485； （2）63582； （3）987654321。 5．求 6．六位数 7．七位数第7讲 找规律（一）
我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。 下面，我们通过一些例题作进一步讲解。
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、??这样排下去。问： （1）第100盏灯是什么颜色？ （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。
（1）100÷12＝8??4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。 （2）150÷12=12??6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。
例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
除以11的余数。
5A634B能被33整除，求A+B。 3A8629B是88的倍数，求A和B。
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分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，?个数都相同。
同理，第2，6，10，14，?个数都相同，第3，7，11，15，?个数都相同，第4，8，12，16?个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是 25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9??1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。
例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？ 628088640448?
分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4??8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134?
分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??
可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。
例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也