发布时间 : 星期一 文章2017年—2011年新课标高考数学全国卷1文科数学分类汇编全集（附答案）更新完毕开始阅读
【2012，21】21．设函数f(x)?ex?ax?2． （1）求f(x)的单调区间；
（2）若a?1，k为整数，且当x?0时，(x?k)f'(x)?x?1?0，求k的最大值．
【2011，21】已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0． x?1xlnx． x?1（1）求a，b的值；（2）证明：当x?0，且x?1时，f(x)?
2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
3．导数及其应用（解析版）
一、选择题
【2016，12】若函数f(x)?x?sin2x?asinx在???,???上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．??1,1? B．??1,? C．??,? D．??1,??
333313??1???11?????1?? 解析：选C ．问题转化为f??x??1?2cos2x?acosx…0对x?R恒成立， 3故1?245222cosx?1?acosx…0acosx?cosx?…0恒成立． ，即??333425t?at?…0对t???1,1?恒成立． 33425t?at?，开口向下的二次函数g?t?的最小值的可能值为端点值， 33令cosx?t，得?解法一：构造g?t???1?g?1??a…0???11?3a故只需保证?，解得?剟．故选C．
133?g?1???a…0?3?a…?4t??恒成立，解法二：①当t?0时，不等式恒成立；②当0?t?1时，由y?上单调递增，所以?4t???1?3?5?t?1?5?4t???在0?t?13?t?1?3?15?1115?4t??4?5???，故a…?；③当?1?t?0时，a????恒成立．由
3t?333?t?y?11?5?1?5?11a??1?t?04t?4t?…?4?5?在上单调递增，，所以． ??????33?t?333?t?131．故选C． 332a综上可得，?剟【2014，12】已知函数f(x)?ax?3x?1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值范围是（ ）
A．(2,??) B．(1,??) C．(??,?2) D．(??,?1)
解：依题a≠0，f '(x)=3ax2-6x，令f '(x)=0，解得x=0或x=
2， a当a>0时，在(-∞, 0)与(
22,+∞)上，f '(x)>0，f(x)是增函数．在(0,) 上，f '(x)<0，f(x)是减函数．且f(0)=1>0，aaf(x)有小于零的零点，不符合题意．
22)与(0,+∞)上，f '(x)<0，f(x)是减函数．在(,0)上，f '(x)>0，f(x)是增函数．要使f(x)aa2有唯一的零点x0，且x0>0，只要f()?0，即a2>4，所以a<-2．故选C
a111另解：依题a≠0，f(x)存在唯一的正零点，等价于a?3?3有唯一的正零根，令t?，则问题又
xxx当a<0时，在(-∞,
等价于a=-t3+3t有唯一的正零根，即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记g(t)=-t3+3t，g
'(t)=-3t2+3，由g '(t)=0，解得t=±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t)<0，g(t)是减函数．在(-1,1)上，g '(t)>0，g(t)是增函数．要使a=-t3+3t有唯一的正零根，只要a 【2017，14】曲线y?x2?1在?1,2?处的切线方程为 ． x1，故切线的斜率k?y?|x?1?1，所以切线方程为y?2?x?1，即2x【解】y?x?1．求导得y??2x?y?x?1． 【2012，13】13．曲线y?x(3lnx?1)在点（1，1）处的切线方程为_________． 【解析】4x?y?3?0．由已知y'?3lnx?4，根据导数的几何意义知切线斜率k?y'|x?1?4， 因此切线方程为y?1?4(x?1)，即4x?y?3?0． 三、解答题 【2017，21】已知函数f?x??ex?ex?a??a2x． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)?0，求a的取值范围． 【解析】（1）f??x??2ex??2?aex?a2??2ex?a??ex?a? ①当a?0时，2ex?a?0，令f??x??0，即ex?a?0，解得x?lna， 令f??x??0，即ex?a?0，解得x?lna， 所以当a?0，f?x?在?lna,???上递增，在???,lna?上递减． ②当a?0时，f??x??2ex??2?0， f?x?在R上递增． x③当a?0时，ex?a?0，令f??x??0?2ex?a?0?e??a?a??x?ln???， 2?2?x令f??x??0?2ex?a?0?e??a?a??x?ln???， 2?2?所以当a?0时，f?x?在?ln???????a??a??,????,ln上递增，在?????上递减． ??2???2???? 综上所述：当a?0，f?x?在???,lna?上递减，在?lna,???上递增； 当a?0时， f?x?在R上递增； 当a?0时，f?x?在???,ln??????a???a??ln?,??上递减，在????2??上递增． 2???????lnaelna?a?a2lna??a2lna?0， （2）由（1）得当a>0时，f?x?min?f?lna??e???lna?0，得0?a?1．当a?0时，f?x???ex??0满足条件． 2当a?0时，f?x?min?a??a????ln????2?a???a??ln??2??2??f?ln?????e?a??aln??? ?e??2???2????? ?32?a?a?a2ln????0， 4?2?333?a?3a?ln???????e4?a??2e4，又因为a?0，所以?2e4?a?0． 2?2?43??综上所述，a的取值范围是??2e4,1?． ??x【2016，21】已知函数f?x???x?2?e?a?x?1?． 2（1）讨论f?x?的单调性；（2）若f?x?有两个零点，求a的取值范围． xx解析：（1）由题意f??x???x?1?e?2a?x?1?=?x?1?e?2a． ??0，即a…0时，e?2a?0恒成立．令f??x??0，则x?1， ①当2a…x所以f?x?的单调增区间为?1,???．同理可得f?x?的单调减区间为???,1?． ②当2a?0，即a?0时，令f??x??0，则x?1或ln??2a?． （ⅰ）当ln??2a??1，即a??e时，令f??x??0，则x?1或x?ln??2a?， 2所以f?x?的单调增区间为???,1?和ln??2a?,??．同理f?x?的单调减区间为1,ln??2a?； （ⅱ）当ln??2a??1，即a??????e时， 2