发布时间 : 星期一 文章《计算机算法基础》第三版 - 课后习题答案更新完毕开始阅读
上机实验 书上121页 5。2 5。3 书上151 6。1 6。3 6。6 他说搞懂这几题和实验就没问题了
4.2在下列情况下求解递归关系式
?g(n)n足够小 T(n)= ?
否则?2T(n/2)?f(n)
当①n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(n)；
k
②n=2g(n)= O(1)和f(n)= O(1)。
解: T(n)=T(2k)=2 T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1)) +f(2k)
2k-21k-1k
=2T(2)+2 f(2)+ f(2) =??
=2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+?+20f(2k) =2kg(n)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+?+20f(2k) ①当g(n)= O(1)和f(n)= O(n)时，
不妨设g(n)=a，f(n)=bn，a，b为正常数。则
T(n)=T(2k)= 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+?+20*2kb =2ka+kb2k
=an+bnlog2n= O(nlog2n)
②当g(n)= O(1)和f(n)= O(1)时，
不妨设g(n)=c，f(n)=d，c，d为正常数。则 T(n)=T(2k)=c2k+ 2k-1d+2k-2d+?+20d=c2k+d(2k-1)
=(c+d)n-d= O(n)
4.3根据教材中所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。 Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j) integer mid
if low≤high then
mid←?(low?high)/2?
if x=A(mid) then j←mid; endif
if x>A(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endif if x 4.5作一个“三分”检索算法。它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素；这样，或者找到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。 Procedure ThriSearch(A, x, n, j) integer low, high, p1, p2 low←1; high←n while low≤high do p1←?(2low?high)/3? ; p2←?(low?2high)/3? case :x=A(p1): j←p1; return :x=A(p2): j←p2; return :x :else: low←p1+1; high←p2-1 end case repeat j←0 end ThriSearch T(n)= ??g(n)?T(n/3)?f(n) n足够小否则 g(n)= O(1) f(n)= O(1) 成功: O(1), O(log3(n)), O(log3(n)) 最好， 平均， 最坏 失败: O(log3(n)), O(log3(n)), O(log3(n)) 最好， 平均， 最坏 4.6对于含有n个内部结点的二元树，证明E=I+2n，其中，E，I分别为外部和内部路径长度。 证明：数学归纳法 ①当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立； ②假设n≤k(k>0)时，E=I+2n成立； ③则当n=k+1时，不妨假定找到某个内结点x为叶结点（根据二元扩展 树的定义，一定存在这样的结点x，且设该结点的层数为h），将结点x及其左右子结点（外结点）从原树中摘除，生成新二元扩展树。此时新二元扩展树内部结点为k个，则满足Ek=Ik+2k，考察原树的外部路径长度为Ek+1= Ek-（h-1）+2h，内部路径长度为Ik+1=Ik+（h-1），所以Ek+1= Ik+2k+h+1= Ik+1+2k+2= Ik+1+2(k+1)， 综合①②③知命题成立。 4.10过程MERGESORT的最坏情况时间是O(nlogn)，它的最好情况时间是什么？能说归并分类的时间是Θ(nlogn)吗？ 最好情况：是对有序文件进行排序。 分析：在此情况下归并的次数不会发生变化----log(n)次 归并中比较的次数会发生变化（两个长n/2序列归并） 最坏情况 两个序列交错大小，需要比较n-1次 最好情况 一个序列完全大于/小于另一个序列，比较n/2次 差异都是线性的，不改变复杂性的阶 因此最好情况也是nlogn, 平均复杂度nlogn。 可以说归并分类的时间是Θ(nlogn) 4.11写一个“由底向上”的归并分类算法，从而取消对栈空间的利用。 答：见《数据结构》 算法MPass（R，n，1ength．X） MP1 [初始化] i?1 ． MP2 [合并相邻的两个长度为length的子文件] WHILE i ≤ n – 2*length + 1 DO （Merge（R，i，i＋length–l，i＋2*length–1．X）. i?i＋2*length ） ． MP3 [处理余留的长度小于2*length的子文件] IF i+length–1 < n THEN Merge（R，i，i+length–1，n. X） ELSE FOR j = i TO n DO Xj←Rj ▌ 算法MSort(R，n) // 直接两路合并排序算法，X是辅助文件，其记录结构与R相同 MS1 [初始化] length?1 ． MS2 [交替合并] WHILE length < n DO （MPass（R，n，length．X）. length?2*length if length > n then FOR j = 1 TO n DO Rj←Xj else MPass（X，n，length．R）. length?2*length） endif ) 4.23通过手算证明（4.9）和(4.10)式确实能得到C11,C12,C21和C22的正确值。 P=(A11+A22)(B11+B22) T=(A11+A12)B22 Q=(A21+A22)B11 U=(A21-A11)(B11+B12) R=A11(B12-B22) V=(A12-A22)(B21+B22) S=A22(B21-B11) C11=P+S-T+V =(A11+A22)(B11+B22) +A22(B21-B11) -(A11+A12)B22 +(A12-A22)(B21+B22) =A11B11+A22B11+A11B22+A22B22+A22B21 -A22B11-A11B22-A12B22+A12B21+A12B22-A22B21-A22B22 =A11B11 +A12B21 C12=R+T = A11B12-A11B22 +A11B22+A12B22 = A11B12 +A12B22 C21=Q+S = A21B11+A22B11 +A22B21-A22B11 = A21B11 +A22B21 C22=P+R-Q+U =(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12+B22)-(A21+A22)B11 +(A21-A11)(B11+B12) =A11B11+A22B11+A11B22+A22B22+A11B12-A11B22-A21B11-A22B11+A21B11+A21B12 -A11B11-A11B12 =A22B22+A21B12 5.2① 求以下情况背包问题的最优解，n=7，m=15，=(10,5,15,7,6,18,3)（p1,.....p7）和=(2,3,5,7,1,4,1)。 （w1,.....w7） ② 将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是物品按pi的非增次序输入时由GREEDY-KNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。问FO(I)/ FG(I)是多少? ③ 当物品按wi的非降次序输入时，重复②的讨论。 解：① 按照pi/wi的非增序可得 (p5/w5，p1/w1，p6/w6，p3/w3，p7/w7，p2/w2，p4/w4) = (6,5,9/2,3,3,5/3,1) W的次序为(1,2,4,5,1,3,7),解为(1,1,1,1,1,2/3,0) 所以最优解为：（1,2/3,1,0,1,1,1） FO(I)=166/3 ② 按照Pi的非增次序输入时得到 (p6,p3,p1,p4,p5,p2,p7)= (18,15,10,7,6,5,3)， 对应的(w6,w3,w1,w4,w5,w2,w7)= (4,5,2,7,1,3,1) 解为(1,1,1,4/7,0,0,0) 所以FG(I)的解为（1,0,1,4/7,0,1,0） FG(I)=47，所以FO(I)/ FG(I)=166/141. ③ 按照wi的非降次序输入时得到 (w5,w7,w1,w2,w6,w3,w4)=(1,1,2,3,4,5,7) 相应的(p5,p7,p1,p2,p6,p3,p4)=(6,3,10,5,18,15,7) 解为(1,1,1,1,1,4/5,0) 则FW(I)的解为（1,1,4/5,0,1,1,1） FW(I)=54，所以FO(I)/ FW(I)=83/81. 5.3．（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成