发布时间 : 星期五 文章东南大学 - 高数（上） - 03至10年 - 期末试卷（附答案）更新完毕开始阅读
法2: 对对
?20f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
0112??102f(x)dx,f(x)?f(0)?f?(?)x，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。
再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。 f(x)dx,f(x)?f(2)?f?(?)(x?2)，
1法3:（函数的观点，将
?20f(x)dx是某个函数在一些定点处的取值,比如令
F(x)??x1，将f(t)dtF(x)分别在x0?1和x0?2处一阶Taylor展开（带Lagrange余
项，即F(x)?F(x0)?F?(x0)(x?x0)?式中都取x?1，再做相应的运算。 Note：构造函数的方法也不是唯一的。
F??(?)(x?x0)2,?介于x和x0间），然后在所得两22009级高等数学（A）（上）期末试卷答案
11x? 4． 2； 5． 0； 2226． 2arcsinx?C； 7． e?1； 8． xy???2y??xy?0； 9． .
一. 1．R\\Z，(1,??)； 2． ?1 3．y??二. 10．?cotxlnsinx?cotx?x?C； 11.
1??1?； 12. ； 13. ； 14. ?
3342311121172x2V?2???2x2?3x3?dx?? 三．y??(x?x)?(1?x)e四．f(x)?2x?3x，
02426x2?ln(1?x2)?a, 则fmax?f(0)??a?0， 五．设f(x)?2fmin?f(?1)?六．令F(x)?11?ln2?a?0，故常数a的取值范围是：?ln2?a?0。 22x0?f(t)dt?则x0F?(x)?1,不等式两边对x积分,得1?2F(x)?1?x,
1?2F(x)即f(x)?1?2?f(t)dt?1?2F(x)?1?x?
七．(1) 记F(x)??x0f(t)dt???x0?x0f(t)dt，用Lagrange中值定理
?f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)??????，
?x??x???(2) 由(1)得
x0f(t)dt??x2f(t)dt— 254 —
?因此2f?(0)lim??limx?0?x?0?x0f(t)dt??x2?x0f(t)dt?lim?x?0f(x)?f(?x)
2x?
11?f(x)?f(0)f(?x)?f(0)???lim??f(0)?0. 由于，所以。 lim??f(0)??x?0?22x?0??x?x?2010级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一。填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1．ea?b；2．y?x?1；3．y?2x；4．6；5． ?2n?(n?1)!；6．?1；7．?4?；
8．?2；9．xy?1.
3二．(本题共4小题，每小题7分,满分28分) 10．解 limx?0(sinx?sin(sinx))sinxsinx?sin(sinx)t?sint1?2lim?2lim?.
x?0t?01?cosx2(sinx)3t33??111．解
???1e11???11?21x2dx???2??d(x)?lnx(1?x2)21?x1?x2?21?x2sin(lnx)dx?t?lnx11?ln2. 21t1t1esintdt?e(sint?cost)?(e(sin1-cos1)+1). 0?1?022111111dx??dx?cscxdtanx?secx?cscxdx 13．解?sin2xcosx2sinxcos2x2?22?12．解
1111x?secx?lntan?C（或?secx?lncscx?cotx?C）.
22222三(14)．（本题满分7分） 解 当0?x?原式?当x?原式??x0f(t)g(x?t)dt?x?t?u?x0f(x?u)g(u)du，
?2时，因0?u?x，故x?u?0，于是
??x0xx(x?u)sinudu??xcosu0?(ucosu?sinu)0?x?sinx.
2
时，
??20(x?u)sinudu???(x?u)0du??xcosu2x?20??(ucosu?sinu)20?x?1
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所以，
?x0??x?sinx,0?x???2f(t)g(x?t)dt??
??x?1,x???2?四（15）．（本题满分8分） 解 A???220x(1?sinx)dx??28??1，
V???2(x?xsinx)dx?0222??202?x(1?cos2x)dx??448?28
五（16）．（本题满分7分）解y?C1ex?C2e2x?x(x?2)ex，由y(0)?0，y?(0)?0，得
C1??2，C2?2，y??2ex?2e2x?x(x?2)ex.
dy??(t)d2y(1?t)???(t)???(t)3?六（17）．（本题满分8分）解 ，2?， ?3dx2(1?t)dx4(1?t)4(1?t)(1?t)???(t)???(t)?3(1?t)2，解得??(t)?C1(1?t)?3t(1?t)，由??(1)?6，得
53C1?0，于是??(t)?3t(1?t)，?(t)?t3?t2?C2，由?(1)?，得C2?0，于是
223?(t)?t3?t2,t??1.
2七（18）．（本题满分
6
分）证 设F(x)?M(x?a)?m(b?x)，则
bF(a)?m(?ba),F?(b)baM?(bFa(a)??f(x)dx?F(b)，因此至少存在一点，于是
aba??[a,b]，使得F(?)??f(x)dx，此即?f(x)dx?M(??a)?m(b??).
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