发布时间 : 星期五 文章东南大学 - 高数（上） - 03至10年 - 期末试卷（附答案）更新完毕开始阅读
1．
xarctanx1?x2?11?x2?C； 2.
1113?tanx?tanx?C；
4cos4x124 3.
13?2??e ； 4． ； 5．?2； 6．解为y2?x2(ln|x|?C)。 223x2x四、所求特解y?2e?2e?(x?2x)e. 五、V?2x?22?442??. . 六、m?33七、 由f(x)?f(0)?f?(0)x??a?a11f??(?)x2?f?(0)x?f??(?)x2(?在0与x之间)知22a11af(x)dx??[f?(0)x?f??(?)x2]dx??f??(?)x2dx；又因f???C，所以f??在
?a22?a[?a,a]上存在最大值M和最小值m，于是mx2?f??(?)x2?Mx2 (x?[?a,a]),所以
aaa23232222?????am?f(?)xdx?aM，由推广的积mxdx?f(?)xdx?Mxdx???a??a??a?a33a???[?a,a]使得分中值定理知，
?a?aa2f??(?)xdx?a3f??(?)，xd)x即?f(?a32a3??．?f(?) 3Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数F(x)??x?af(t)dt，原问题等价于证：
a3???[?a,a]，使F(a)?F???(?).
32004级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. （每小题4分，共20分） 1．0, 一；2．
Cx1?x2； 3． 4e； 4． 1； 5．
?133。 4二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C. 三. (每小题7分,共35分) 1.
11?x 2.(略) 3. 4. 5. y?cosx?sinx?x?cosx 622212四.(8分) ??e是旋转体的体积最小的点.
五.(7分) 提示：设
b2(t?1)?t,原不等式等价于lnt?,t?1, at?1即等价于 f(t)?(t?1)lnt?2(t?1)?0,t?1。（用函数单调性证明）
Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法
Ce?x六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得f?(x)?；
1?x— 250 —
再用函数的单调性和定积分的性质即可。 七.(7分) 提示：记F(x)?
2005级高等数学（A）（上）期末试卷答案
231?x11121一．1．；2．x?1；3．；4．sinx?；5．e?；6．0；7．?dx；
13231??x(1?lny)x?x?1f(t)dt，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法
8．?1,?2；9．非充分非必要。
?1ex1?ln?1?4e?2x??C 3． 4．ln(1?2) 二． 1．f?(x)?xsinx 2．arctan2228三． a?2223?1?2xx(x?1)，b?。 四．1．y?Ce?x?x2e?x； 2．y??1?x?e??1 344?2?五．（1）提示：设f(x)?xlnx?u，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。 六．设k为正整数，k?x?k?1,111??，三边积分得2k?12x?12k?1k?1111??dx?，左边关于k?1,2,?,n?1相加得： 2k?1k2x?12k?1n1111??????dx?ln2n?1，右边关于k?1,2,?,n相加得：
1352n?12x?1n?111111???????dx?ln2n?1，所以
352n?112x?1111ln2n?1?1??????1?ln2n?1 352n?1Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证
2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案
?23?1?2一. 1．；2．y?3x?7；3．(?1,0)；4．e；5．；6．；7．?e4；8．y?x?；
342e9．y???4y??3y?0。 二. 1. ?arccosx??2?C 2. 4? 3.
12ln2 4. ?23?2?1
?三．S?ln1?2???2x222 四．1.y?Ccscx?sinx 2. y?sinx?x?cosx
324— 251 —
五．Imax?I??1??321?2e?e 44f??(?)(x?3)2，??(2,4)，由于f??(x)在[2,4]2和最小值m，故
六．证：f(3)?0，f(x)?f?(3)(x?3)?上连续，
f??(x)在[2,4]上存在最大值Mmf??(?)2M2(x?3)2?(x?3)?(x?3)，从而 22244m14M??f(x)dx?f?(3)?(x?3)dx??f??(?)(x?3)2dx?, 222323即m?3?42由介值定理知至少存在一点??[2,4]，使得f??(?)?3?f(x)dx f(x)dx?M，
24Note：还有别的解法。参见03年的第七题。
2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1．e； 2．x121sinx?111??1 3． ?1； 4． x?y?e2； d?sin?2cos?xl?nx；
xxx?x??3?5????3??3??2,,5． ?， ?； 6． ?1,e?， y?0； 7．； 8． 42； ???2??2?229????9. Axcosx?Bxsinx
5?1??二. 10. ； 11．xarctan1?x?x?lnx?2x?2?C； 12。?e2
82????三 (1) F(x)不是f(x)在(??,??)内的一个原函数，因为F(0)?1?F(0?0)?0， 2?1x2e?C,x?0??2 F(x)在(??,??)内不连续. (2) ?f(x)dx????11?x2??C,x?0??22四．limx?0f(x)sixny?Ce?2(1?sixn )?1 五．
x2xx六．由已知条件知f??(x)?f(x)?2e，解出f(x)?sinx?cosx?e，
从而可求出
??0?g(x)f(x)?1?e?. ?dx??2?1?x(1?x)1????g(x)不动），然后让另一个等价变形（朝着1?xNote：求积分时，可采取保持一个不动（比如
保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。
— 252 —
a3a1?? 七．(1) S(a)?S1(a)?S2(a)??(ax?x)dx??(x?ax)dx? 0 a323 a2 122?1?1?2?2是最小值?? (2) V?? S??x?306?2?1?cosx2cos(x?1)2?1(x?1)2cosu?du 八．提示：令u?t，则f(x)?????x232?xx?1?4u21?11?1(x?1)211 f(x)????du??32?xx?1?4?x2xu
2008级高等数学（A）（上）期末试卷答案
一. 1． ?0,?； 2．3； 3．(2,?5)； 4．y?8．
??1?4?2143x?； 5．Axe2x；6．； 7. ? ；
e33412； 9. ?sin1
21??2二. 10.； 11.? 12.sinx?(xcosx?1?sinx)lnx?C
331 13. a?, b?0, c?2 14. ln2
221xx三． y??sinx?cosx?e
22x1x四．由题意得?f(t)dt?f(0)f(x)，x?0，?f(t)dt?xf(0)f(x)，
0x03f(0)22记f(x)?y，则两端对x求导知y??y?y2，解得f(x)?xxf(0)1?Cf(0)x??2。
22k4k21?k??k?k五.(1) 设Qk(xk,yk)，则由题意得xk?,yk?2,Sk??1??yk?2?1??2
nn2?n??n?n11n?11n?1?k?k212(2) lim?Sk?2lim??1??2?2?(1?x)xdx?
0n???nn???nn?n6k?1k?1?12?x)?x?1六. 设f(x)?ln(1?x)?x?x （或f(x)?ln(1）， 由函数单调性可得
22?1?ln1?2 Note：也有别的解法，而且解法很多
七．法1：
2???20f(x)dx??20f(x)d(x?1)?(x?1)f(x)??(x?1)f?(x)dx
0202??x?1dxmaxf?(x)?maxf?(x)
00?x?20?x?2— 253 —