发布时间 : 星期一 文章备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题27 实际问题中的解三角形问题更新完毕开始阅读
（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．
在△OAM中，由余弦定理得OM2
＝AO2
＋AM2
－2AO·AM·cosA＝x2
－3x＋9， 所以OM＝
，所以cos∠AOM＝
＝
，
在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°) ＝cos∠AOM＝
．
由＝，得ON＝·＝． 所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝··
·
＝
，0＜x＜3．
令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝ (t－9＋)
≥
·(2
－9)＝．
当且仅当t＝，即t＝3
，x＝6－3
时等号成立，S△OMN的最小值为．
所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是
km2．
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点睛：一般的，在平面几何中的解三角形，要掌握条件中的已知量，能够准确找到已知条件多的三角形作为切入点，同时灵活应用图形中的共同直线进行三角形之间的相互转化。
在最值问题中，学会函数求最值的技巧应用，在方法一中，得到的是分式函数，通过构造得到对勾函数，求出最值；方法二中，得到三角函数，利用三角函数的特点，得到最值。
【例4】如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a＋b－2abcos α.，若测得
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CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
【答案】200 7 m.
【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC＋BC－2AC·BCcos∠ACB，∴AB＝400＋600－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB＝200 7 (m)．即A，B两点间的距离为200 7 m.
【例5】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m. 【答案】200 7 m.
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点评：求距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 类型三、测量角度问题
【例6】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 53【答案】
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【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根据余弦定理得(14x)＝12＋(10x)－240xcos 120°，解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，
sin αsin 120°
2
2
2
BCAC 7
20sin 120°53
解得sin α＝＝.
2814
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所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
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【例7】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 【答案】21. 14
点评：解决测量角度问题的3个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 方法、规律归纳: 1.三角形中常见的结论
(1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB?cosA＜cosB. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)三角形内的诱导公式： sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；
tan(A＋B)＝－tan C；sinA＋BCA＋BC＝cos；cos＝sin. 2222
(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .
(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．